1. Scrie Sub Formă De Produs Expresia Sin X - Sin 3x. 2. Rezolvă Sistemul De Inecuații: X^2 - 6x - 7 >= 0 Și 2x^2 - 5x + 2 <= 0. 3. Studiază Monotonia Funcției F:R→R, F(x)=x²-3x+13. 4. Discută Ecuația (ecuația Nu A Fost Specificată).
Sin x - Sin 3x: Descompunerea în Produs
În analiza trigonometrică, transformarea expresiilor este o abilitate esențială. În acest articol, vom explora cum să scriem diferența dintre sinusul unui unghi și sinusul triplului acelui unghi, adică sin x - sin 3x, sub formă de produs. Această transformare este utilă în simplificarea ecuațiilor trigonometrice și în rezolvarea problemelor de geometrie și fizică. Formula generală pentru transformarea diferenței a două sinusuri în produs este:
sin A - sin B = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)
În cazul nostru, avem A = x și B = 3x. Aplicând formula, obținem:
sin x - sin 3x = 2 * cos((x + 3x) / 2) * sin((x - 3x) / 2)
= 2 * cos(2x) * sin(-x)
Deoarece funcția sinus este impară, adică sin(-x) = -sin(x), putem simplifica expresia în:
= -2 * cos(2x) * sin(x)
Așadar, am transformat diferența sin x - sin 3x în produsul -2 * cos(2x) * sin(x). Această formă este adesea mai ușor de utilizat în calcule și demonstrații ulterioare. Transformarea diferențelor în produse este o tehnică fundamentală în trigonometrică, permițându-ne să simplificăm expresii complexe și să rezolvăm ecuații care altfel ar fi dificil de abordat. Această metodă se bazează pe identitățile trigonometrice fundamentale și pe proprietățile funcțiilor sinus și cosinus, oferind un instrument puternic pentru manipularea expresiilor trigonometrice. Prin aplicarea corectă a formulelor de transformare, putem reduce complexitatea problemelor și obține soluții elegante și concise. În concluzie, transformarea expresiilor trigonometrice, cum ar fi diferența de sinusuri în produs, este o abilitate crucială în matematică, cu aplicații extinse în diverse domenii, inclusiv fizică și inginerie. Prin stăpânirea acestor tehnici, putem aborda cu încredere o gamă largă de probleme și dezvolta o înțelegere mai profundă a relațiilor trigonometrice.
Metodologia Pas cu Pas
Rezolvarea sistemelor de inecuații este o parte importantă a algebrei, având aplicații în diverse domenii, de la optimizare la modelare matematică. Sistemul de inecuații pe care îl vom rezolva este următorul:
{ x^2 - 6x - 7 >= 0
{ 2x^2 - 5x + 2 <= 0
Pentru a rezolva acest sistem, vom analiza fiecare inecuație separat și apoi vom identifica intervalul de soluții comune.
1. Rezolvarea Inecuației x² - 6x - 7 ≥ 0
Începem prin a găsi rădăcinile ecuației asociate x² - 6x - 7 = 0. Putem utiliza formula cuadratică sau descompunerea în factori. În acest caz, putem descompune ecuația în:
(x - 7)(x + 1) = 0
Rădăcinile sunt x₁ = 7 și x₂ = -1. Deoarece coeficientul lui x² este pozitiv, parabola se deschide în sus. Inecuația este satisfăcută pentru valorile lui x din afara intervalului dintre rădăcini, adică:
x ∈ (-∞, -1] ∪ [7, ∞)
2. Rezolvarea Inecuației 2x² - 5x + 2 ≤ 0
Aici, vom găsi rădăcinile ecuației asociate 2x² - 5x + 2 = 0. Folosim formula cuadratică:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Unde a = 2, b = -5, și c = 2. Calculăm discriminantul:
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9
Rădăcinile sunt:
x₁ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2
x₂ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2
Deoarece coeficientul lui x² este pozitiv, parabola se deschide în sus. Inecuația este satisfăcută pentru valorile lui x din intervalul dintre rădăcini, adică:
x ∈ [1/2, 2]
3. Intersecția Soluțiilor
Acum, trebuie să găsim intersecția intervalelor de soluții pentru ambele inecuații. Avem:
Inecuatia 1: x ∈ (-∞, -1] ∪ [7, ∞)
Inecuatia 2: x ∈ [1/2, 2]
Intersecția acestor intervale este mulțimea vidă, deoarece nu există valori comune între cele două seturi de soluții. Așadar, sistemul de inecuații nu are soluții. Rezolvarea sistemelor de inecuații necesită o înțelegere profundă a proprietăților funcțiilor pătratice și a modului în care rădăcinile influențează intervalele de soluții. Prin analiza separată a fiecărei inecuații și identificarea intervalelor în care acestea sunt satisfăcute, putem determina soluțiile sistemului. În cazul în care intersecția intervalelor de soluții este vidă, sistemul nu are soluții, indicând o incompatibilitate între condițiile impuse de inecuații. Această abordare sistematică permite rezolvarea eficientă a problemelor complexe și oferă o bază solidă pentru aplicații în diverse domenii ale matematicii și științei.
Analiza Amănunțită a Comportamentului Funcției
Studiul monotoniei unei funcții este un aspect fundamental în analiză matematică, permițându-ne să înțelegem cum variază valorile funcției pe diferite intervale. Vom analiza monotonia funcției f(x) = x² - 3x + 13, care este o funcție pătratică. Pentru a determina monotonia, vom folosi derivata funcției. Calculăm derivata întâi:
f'(x) = 2x - 3
Acum, analizăm semnul derivatei pentru a determina intervalele de monotonie. Setăm derivata egală cu zero pentru a găsi punctele critice:
2x - 3 = 0
x = 3/2
Am găsit un singur punct critic, x = 3/2. Acum, vom analiza semnul derivatei în intervalele determinate de acest punct critic:
- Intervalul (-∞, 3/2): Alegem o valoare x < 3/2, de exemplu x = 0. Atunci f'(0) = 2 * 0 - 3 = -3 < 0. Prin urmare, funcția este descrescătoare pe acest interval.
- Intervalul (3/2, ∞): Alegem o valoare x > 3/2, de exemplu x = 2. Atunci f'(2) = 2 * 2 - 3 = 1 > 0. Prin urmare, funcția este crescătoare pe acest interval.
În concluzie, funcția f(x) = x² - 3x + 13 este:
- Descrescătoare pe intervalul (-∞, 3/2]
- Crescătoare pe intervalul [3/2, ∞)
Punctul x = 3/2 este un punct de minim pentru funcție. Valoarea minimă a funcției este:
f(3/2) = (3/2)² - 3 * (3/2) + 13 = 9/4 - 9/2 + 13 = (9 - 18 + 52) / 4 = 43/4
Așadar, valoarea minimă a funcției este 43/4. Studiul monotoniei funcțiilor este crucial pentru înțelegerea comportamentului lor global. Prin analiza derivatei, putem determina intervalele de creștere și descreștere, punctele de maxim și minim, și alte caracteristici importante. Această analiză ne permite să trasăm graficul funcției cu precizie și să rezolvăm probleme de optimizare. În cazul funcțiilor pătratice, monotonia este determinată de coeficientul termenului de gradul doi și de poziția vârfului parabolei. Derivata funcției oferă o metodă eficientă pentru determinarea intervalelor de monotonie și a punctelor critice, permițându-ne să obținem o imagine completă a comportamentului funcției. Această metodologie este aplicabilă și altor tipuri de funcții, oferind un instrument puternic pentru analiza matematică.
Pentru a discuta ecuația (ecuația nu a fost furnizată complet, deci nu se poate oferi o discuție specifică), este necesar să avem forma completă a ecuației. În general, discuția unei ecuații implică analiza numărului de soluții în funcție de parametrii prezenți în ecuație. Pașii generali pentru discuția unei ecuații sunt:
- Identificarea Tipului de Ecuație: Determină dacă ecuația este liniară, cuadratică, trigonometrică, exponențială etc.
- Rezolvarea Ecuației: Găsește soluțiile ecuației în funcție de parametrii prezenți.
- Analiza Soluțiilor: Analizează cum se schimbă numărul și natura soluțiilor în funcție de valorile parametrilor. Identifică intervalele de valori pentru parametri în care ecuația are soluții reale, soluții multiple, sau nu are soluții.
- Cazuri Speciale: Examinează cazurile speciale în care parametrii iau valori critice care pot schimba comportamentul ecuației.
Pentru o ecuație cuadratică, de exemplu, discuția se bazează pe analiza discriminantului (Δ). Dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, ecuația are o soluție reală dublă; iar dacă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale. În cazul ecuațiilor trigonometrice, discuția implică analiza intervalelor de valori pentru funcțiile trigonometrice și utilizarea identităților trigonometrice pentru simplificarea ecuației. Pentru ecuațiile exponențiale și logaritmice, se utilizează proprietățile funcțiilor respective și se analizează domeniul de definiție al ecuației. În concluzie, discuția unei ecuații este un proces complex care necesită o înțelegere profundă a tipului de ecuație și a metodelor de rezolvare. Prin analiza atentă a soluțiilor în funcție de parametrii prezenți, putem obține o imagine completă a comportamentului ecuației și a numărului de soluții posibile. Această abilitate este esențială în rezolvarea problemelor matematice complexe și în aplicarea matematicii în diverse domenii ale științei și ingineriei. Discuția unei ecuații nu este doar un exercițiu matematic, ci și o modalitate de a dezvolta gândirea logică și capacitatea de analiză, abilități valoroase în orice domeniu profesional.