Introduction In calculus, approximating integrals is a crucial technique used to estimate the value of a definite integral. One of the methods used to approximate an integral is by expanding the integrand as a power series in a small parameter, such as ϵ. This technique is particularly useful when dealing with integrals that involve a small parameter, and the integrand can be expressed as a power series in that parameter. In this article, we will explore how to approximate an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ.
The Integral Expression The integral expression we are given is:
T = ∫ 0 a d x a 2 + a 4 ϵ 2 − ( x 2 + ϵ x 4 2 ) T=\int_0^a \frac{dx}{\sqrt{a^2+\frac{a^4\epsilon}{2}-(x^2+\frac{\epsilon x^4}{2}})}
T = ∫ 0 a a 2 + 2 a 4 ϵ − ( x 2 + 2 ϵ x 4 ) d x
where a , ϵ a, \epsilon a , ϵ
Expanding the Integrand as a Power Series in ϵ To expand the integrand as a power series in ϵ, we need to express the integrand as a power series in ϵ. We can do this by using the binomial theorem to expand the square root term in the integrand.
First, let's rewrite the integrand as:
1 a 2 + a 4 ϵ 2 − ( x 2 + ϵ x 4 2 ) = 1 ( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 2 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 2 ( a 2 − x 2 ) ) \frac{1}{\sqrt{a^2+\frac{a^4\epsilon}{2}-(x^2+\frac{\epsilon x^4}{2}})} = \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)(1+\frac{a^2\epsilon}{2(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{2(a^2-x^2)})}}
a 2 + 2 a 4 ϵ − ( x 2 + 2 ϵ x 4 ) 1 = ( a 2 − x 2 ) ( 1 + 2 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 2 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) 1
Now, we can use the binomial theorem to expand the square root term in the integrand:
( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 2 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 2 ( a 2 − x 2 ) ) = ( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 2 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 2 ( a 2 − x 2 ) ) = ( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) \sqrt{(a^2-x^2)(1+\frac{a^2\epsilon}{2(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{2(a^2-x^2)})} = \sqrt{(a^2-x^2)}\sqrt{(1+\frac{a^2\epsilon}{2(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{2(a^2-x^2)})} \\
= \sqrt{(a^2-x^2)}\left(1+\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)
( a 2 − x 2 ) ( 1 + 2 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 2 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) = ( a 2 − x 2 ) ( 1 + 2 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 2 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) = ( a 2 − x 2 ) ( 1 + 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 )
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = ∫ 0 a d x ( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) T=\int_0^a \frac{dx}{\sqrt{(a^2-x^2)}\left(1+\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)}
T = ∫ 0 a ( a 2 − x 2 ) ( 1 + 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) d x
Approximating the Integral To approximate the integral, we can use the power series expansion of the integrand. We can expand the integrand as a power series in ϵ:
1 ( a 2 − x 2 ) ( 1 + a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) − ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) = 1 ( a 2 − x 2 ) ( 1 − a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) + ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)}\left(1+\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}-\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)} = \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}+\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)
( a 2 − x 2 ) ( 1 + 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ − 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) 1 = ( a 2 − x 2 ) 1 ( 1 − 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ + 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 )
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = ∫ 0 a 1 ( a 2 − x 2 ) ( 1 − a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) + ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) d x T=\int_0^a \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}+\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)dx
T = ∫ 0 a ( a 2 − x 2 ) 1 ( 1 − 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ + 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) d x
Evaluating the Integral To evaluate the integral, we can use the following substitution:
u = a 2 − x 2 u = a^2-x^2
u = a 2 − x 2
d u = − 2 x d x du = -2x dx
d u = − 2 x d x
x d x = − 1 2 d u x dx = -\frac{1}{2} du
x d x = − 2 1 d u
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = ∫ 0 a 1 ( a 2 − x 2 ) ( 1 − a 2 ϵ 4 ( a 2 − x 2 ) + ϵ x 2 4 ( a 2 − x 2 ) ) d x = ∫ a 2 0 1 u ( 1 − a 2 ϵ 4 u + ϵ u 4 u ) ( − 1 2 d u ) = − 1 2 ∫ a 2 0 1 u ( 1 − a 2 ϵ 4 u + ϵ u 4 u ) d u T=\int_0^a \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2)}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4(a^2-x^2)}+\frac{\epsilon x^2}{4(a^2-x^2)}\right)dx \\
= \int_{a^2}^0 \frac{1}{\sqrt{u}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4u}+\frac{\epsilon u}{4u}\right)\left(-\frac{1}{2} du\right) \\
= -\frac{1}{2} \int_{a^2}^0 \frac{1}{\sqrt{u}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4u}+\frac{\epsilon u}{4u}\right) du
T = ∫ 0 a ( a 2 − x 2 ) 1 ( 1 − 4 ( a 2 − x 2 ) a 2 ϵ + 4 ( a 2 − x 2 ) ϵ x 2 ) d x = ∫ a 2 0 u 1 ( 1 − 4 u a 2 ϵ + 4 u ϵ u ) ( − 2 1 d u ) = − 2 1 ∫ a 2 0 u 1 ( 1 − 4 u a 2 ϵ + 4 u ϵ u ) d u
Solving the Integral To solve the integral, we can use the following substitution:
v = u v = \sqrt{u}
v = u
d v = 1 2 u d u dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du
d v = 2 u 1 d u
1 2 u d u = d v \frac{1}{2\sqrt{u}} du = dv
2 u 1 d u = d v
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = − 1 2 ∫ a 2 0 1 u ( 1 − a 2 ϵ 4 u + ϵ u 4 u ) d u = − 1 2 ∫ a 0 ( 1 − a 2 ϵ 4 v 2 + ϵ v 2 4 v 2 ) d v T=-\frac{1}{2} \int_{a^2}^0 \frac{1}{\sqrt{u}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4u}+\frac{\epsilon u}{4u}\right) du \\
= -\frac{1}{2} \int_{a}^0 \left(1-\frac{a^2\epsilon}{4v^2}+\frac{\epsilon v^2}{4v^2}\right) dv
T = − 2 1 ∫ a 2 0 u 1 ( 1 − 4 u a 2 ϵ + 4 u ϵ u ) d u = − 2 1 ∫ a 0 ( 1 − 4 v 2 a 2 ϵ + 4 v 2 ϵ v 2 ) d v
Evaluating the Integral To evaluate the integral, we can use the following substitution:
w = v 2 w = v^2
w = v 2
d w = 2 v d v dw = 2v dv
d w = 2 v d v
v d v = 1 2 d w v dv = \frac{1}{2} dw
v d v = 2 1 d w
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = − 1 2 ∫ a 0 ( 1 − a 2 ϵ 4 v 2 + ϵ v 2 4 v 2 ) d v = − 1 2 ∫ a 2 0 ( 1 − a 2 ϵ 4 w + ϵ w 4 w ) 1 2 d w T=-\frac{1}{2} \int_{a}^0 \left(1-\frac{a^2\epsilon}{4v^2}+\frac{\epsilon v^2}{4v^2}\right) dv \\
= -\frac{1}{2} \int_{a^2}^0 \left(1-\frac{a^2\epsilon}{4w}+\frac{\epsilon w}{4w}\right) \frac{1}{2} dw
T = − 2 1 ∫ a 0 ( 1 − 4 v 2 a 2 ϵ + 4 v 2 ϵ v 2 ) d v = − 2 1 ∫ a 2 0 ( 1 − 4 w a 2 ϵ + 4 w ϵ w ) 2 1 d w
Solving the Integral To solve the integral, we can use the following substitution:
z = w a 2 z = \frac{w}{a^2}
z = a 2 w
d z = 1 a 2 d w dz = \frac{1}{a^2} dw
d z = a 2 1 d w
d w = a 2 d z dw = a^2 dz
d w = a 2 d z
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = − 1 2 ∫ a 2 0 ( 1 − a 2 ϵ 4 w + ϵ w 4 w ) 1 2 d w = − 1 4 ∫ 1 0 ( 1 − ϵ 4 z + ϵ z 4 z ) a 2 d z T=-\frac{1}{2} \int_{a^2}^0 \left(1-\frac{a^2\epsilon}{4w}+\frac{\epsilon w}{4w}\right) \frac{1}{2} dw \\
= -\frac{1}{4} \int_{1}^0 \left(1-\frac{\epsilon}{4z}+\frac{\epsilon z}{4z}\right) a^2 dz
T = − 2 1 ∫ a 2 0 ( 1 − 4 w a 2 ϵ + 4 w ϵ w ) 2 1 d w = − 4 1 ∫ 1 0 ( 1 − 4 z ϵ + 4 z ϵz ) a 2 d z
Evaluating the Integral To evaluate the integral, we can use the following substitution:
y = 1 − z y = 1-z
y = 1 − z
d y = − d z dy = -dz
d y = − d z
d z = − d y dz = -dy
d z = − d y
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = − 1 4 ∫ 1 0 ( 1 − ϵ 4 z + ϵ z 4 z ) a 2 d z = − 1 4 ∫ 0 1 ( 1 − ϵ 4 ( 1 − y ) + ϵ ( 1 − y ) 4 ( 1 − y ) ) a 2 ( − d y ) T=-\frac{1}{4} \int_{1}^0 \left(1-\frac{\epsilon}{4z}+\frac{\epsilon z}{4z}\right) a^2 dz \\
= -\frac{1}{4} \int_{0}^1 \left(1-\frac{\epsilon}{4(1-y)}+\frac{\epsilon (1-y)}{4(1-y)}\right) a^2 (-dy)
T = − 4 1 ∫ 1 0 ( 1 − 4 z ϵ + 4 z ϵz ) a 2 d z = − 4 1 ∫ 0 1 ( 1 − 4 ( 1 − y ) ϵ + 4 ( 1 − y ) ϵ ( 1 − y ) ) a 2 ( − d y )
Solving the Integral To solve the integral, we can use the following substitution:
x = 1 − y x = 1-y
x = 1 − y
d x = − d y dx = -dy
d x = − d y
d y = − d x dy = -dx
d y = − d x
Now, we can substitute this expression back into the original integral:
T = − 1 4 ∫ 0 1 ( 1 − ϵ 4 ( 1 − y ) + ϵ ( 1 − y ) 4 ( 1 − y ) ) a 2 ( − d y ) = 1 4 ∫ 0 1 ( 1 − ϵ 4 x + ϵ x 4 x ) a 2 d x T=-\frac{1}{4} \int_{0}^1 \left(1-\frac{\epsilon}{4(1-y)}+\frac{\epsilon (1-y)}{4(1-y)}\right) a^2 (-dy) \\
= \frac{1}{4} \int_{0}^1 \left(1-\frac{\epsilon}{4x}+\frac{\epsilon x}{4x}\right) a^2 dx
T = − 4 1 ∫ 0 1 ( 1 − 4 ( 1 − y ) ϵ + 4 ( 1 − y ) ϵ ( 1 − y ) ) a 2 ( − d y ) = 4 1 ∫ 0 1 ( 1 − 4 x ϵ + 4 x ϵ x ) a 2 d x
Evaluating the Integral To evaluate the integral, we can use the following substitution:
Q: What is the purpose of approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ? A: The purpose of approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ is to estimate the value of a definite integral when the integrand can be expressed as a power series in a small parameter, such as ϵ.
Q: What is the first step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ? A: The first step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ is to express the integrand as a power series in ϵ. This can be done by using the binomial theorem to expand the square root term in the integrand.
Q: How do you use the binomial theorem to expand the square root term in the integrand? A: To use the binomial theorem to expand the square root term in the integrand, you need to rewrite the integrand as:
\frac{1}{\sqrt{a2+\frac{a 4\epsilon}{2}-(x^2+\frac{\epsilon x^4}{2}})} = \frac{1}{\sqrt{(a2-x 2)(1+\frac{a2\epsilon}{2(a 2-x^2)}-\frac{\epsilon x2}{2(a 2-x^2)})}}
T h e n , y o u c a n u s e t h e b i n o m i a l t h e o r e m t o e x p a n d t h e s q u a r e r o o t t e r m i n t h e i n t e g r a n d :
Then, you can use the binomial theorem to expand the square root term in the integrand:
T h e n , yo u c an u se t h e bin o mia lt h eore m t oe x p an d t h es q u a reroo tt er min t h e in t e g r an d :
\sqrt{(a2-x 2)(1+\frac{a2\epsilon}{2(a 2-x^2)}-\frac{\epsilon x2}{2(a 2-x^2)})} = \sqrt{(a2-x 2)}\sqrt{(1+\frac{a2\epsilon}{2(a 2-x^2)}-\frac{\epsilon x2}{2(a 2-x^2)})} \
= \sqrt{(a2-x 2)}\left(1+\frac{a2\epsilon}{4(a 2-x^2)}-\frac{\epsilon x2}{4(a 2-x^2)}\right)
∗ ∗ Q : W h a t i s t h e n e x t s t e p i n a p p r o x i m a t i n g a n i n t e g r a l b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a s a p o w e r s e r i e s i n ϵ ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e n e x t s t e p i n a p p r o x i m a t i n g a n i n t e g r a l b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a s a p o w e r s e r i e s i n ϵ i s t o s u b s t i t u t e t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e i n t e g r a n d b a c k i n t o t h e o r i g i n a l i n t e g r a l . ∗ ∗ Q : H o w d o y o u s u b s t i t u t e t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e i n t e g r a n d b a c k i n t o t h e o r i g i n a l i n t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T o s u b s t i t u t e t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e i n t e g r a n d b a c k i n t o t h e o r i g i n a l i n t e g r a l , y o u n e e d t o s u b s t i t u t e t h e e x p r e s s i o n :
**Q: What is the next step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ?**
-----------------------------------------------------------------------------------------
A: The next step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ is to substitute the power series expansion of the integrand back into the original integral.
Q: How do you substitute the power series expansion of the integrand back into the original integral? A: To substitute the power series expansion of the integrand back into the original integral, you need to substitute the expression:
∗ ∗ Q : Wha t i s t h e n e x t s t e p ina pp ro x ima t in g anin t e g r a l b ye x p an d in g t h e in t e g r an d a s a p o w erser i es in ϵ ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e n e x t s t e p ina pp ro x ima t in g anin t e g r a l b ye x p an d in g t h e in t e g r an d a s a p o w erser i es in ϵ i s t os u b s t i t u t e t h e p o w erser i ese x p an s i o n o f t h e in t e g r an d ba c kin t o t h eor i g ina l in t e g r a l . ∗ ∗ Q : Ho w d oyo u s u b s t i t u t e t h e p o w erser i ese x p an s i o n o f t h e in t e g r an d ba c kin t o t h eor i g ina l in t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T os u b s t i t u t e t h e p o w erser i ese x p an s i o n o f t h e in t e g r an d ba c kin t o t h eor i g ina l in t e g r a l , yo u n ee d t os u b s t i t u t e t h ee x p ress i o n :
\frac{1}{\sqrt{(a2-x 2)}\left(1+\frac{a2\epsilon}{4(a 2-x^2)}-\frac{\epsilon x2}{4(a 2-x^2)}\right)} = \frac{1}{\sqrt{(a2-x 2)}}\left(1-\frac{a2\epsilon}{4(a -x^2)}+\frac{\epsilon x2}{4(a 2-x^2)}\right)
b a c k i n t o t h e o r i g i n a l i n t e g r a l :
back into the original integral:
ba c kin t o t h eor i g ina l in t e g r a l :
T=\int_0^a \frac{1}{\sqrt{(a2-x 2)}}\left(1-\frac{a2\epsilon}{4(a 2-x^2)}+\frac{\epsilon x2}{4(a 2-x^2)}\right)dx
∗ ∗ Q : W h a t i s t h e f i n a l s t e p i n a p p r o x i m a t i n g a n i n t e g r a l b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a s a p o w e r s e r i e s i n ϵ ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e f i n a l s t e p i n a p p r o x i m a t i n g a n i n t e g r a l b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a s a p o w e r s e r i e s i n ϵ i s t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l . ∗ ∗ Q : H o w d o y o u e v a l u a t e t h e i n t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l , y o u n e e d t o u s e t h e f o l l o w i n g s u b s t i t u t i o n :
**Q: What is the final step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ?**
-----------------------------------------------------------------------------------------
A: The final step in approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ is to evaluate the integral.
Q: How do you evaluate the integral? A: To evaluate the integral, you need to use the following substitution:
∗ ∗ Q : Wha t i s t h e f ina l s t e p ina pp ro x ima t in g anin t e g r a l b ye x p an d in g t h e in t e g r an d a s a p o w erser i es in ϵ ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e f ina l s t e p ina pp ro x ima t in g anin t e g r a l b ye x p an d in g t h e in t e g r an d a s a p o w erser i es in ϵ i s t oe v a l u a t e t h e in t e g r a l . ∗ ∗ Q : Ho w d oyo u e v a l u a t e t h e in t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T oe v a l u a t e t h e in t e g r a l , yo u n ee d t o u se t h e f o ll o w in g s u b s t i t u t i o n :
u = a2-x 2
du = -2x dx
x dx = -\frac{1}{2} du
T h e n , y o u c a n s u b s t i t u t e t h i s e x p r e s s i o n b a c k i n t o t h e o r i g i n a l i n t e g r a l :
Then, you can substitute this expression back into the original integral:
T h e n , yo u c an s u b s t i t u t e t hi se x p ress i o nba c kin t o t h eor i g ina l in t e g r a l :
T=\int_0^a \frac{1}{\sqrt{(a2-x 2)}}\left(1-\frac{a2\epsilon}{4(a 2-x^2)}+\frac{\epsilon x2}{4(a 2-x^2)}\right)dx \
= \int_{a2} 0 \frac{1}{\sqrt{u}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4u}+\frac{\epsilon u}{4u}\right)\left(-\frac{1}{2} du\right) \
= -\frac{1}{2} \int_{a2} 0 \frac{1}{\sqrt{u}}\left(1-\frac{a^2\epsilon}{4u}+\frac{\epsilon u}{4u}\right) du
∗ ∗ Q : W h a t i s t h e f i n a l a n s w e r t o t h e i n t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e f i n a l a n s w e r t o t h e i n t e g r a l i s :
**Q: What is the final answer to the integral?**
-----------------------------------------------------------------------------------------
A: The final answer to the integral is:
∗ ∗ Q : Wha t i s t h e f ina l an s w er t o t h e in t e g r a l ? ∗ ∗ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − A : T h e f ina l an s w er t o t h e in t e g r a l i s :
T = \frac{1}{4} \int_{0}^1 \left(1-\frac{\epsilon}{4x}+\frac{\epsilon x}{4x}\right) a^2 dx \
= \frac{1}{4} a^2 \left[x - \frac{\epsilon}{4} \ln x + \frac{\epsilon x}{4} \right]_{0}^1 \
= \frac{1}{4} a^2 \left[1 - \frac{\epsilon}{4} \ln 1 + \frac{\epsilon}{4} \right] \
= \frac{1}{4} a^2 \left[1 + \frac{\epsilon}{4} \right]
∗ ∗ C o n c l u s i o n ∗ ∗ − − − − − − − − − − A p p r o x i m a t i n g a n i n t e g r a l b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a s a p o w e r s e r i e s i n ϵ i s a p o w e r f u l t e c h n i q u e u s e d t o e s t i m a t e t h e v a l u e o f a d e f i n i t e i n t e g r a l . B y f o l l o w i n g t h e s t e p s o u t l i n e d i n t h i s a r t i c l e , y o u c a n u s e t h i s t e c h n i q u e t o a p p r o x i m a t e a n i n t e g r a l a n d o b t a i n a f i n a l a n s w e r .
**Conclusion**
----------
Approximating an integral by expanding the integrand as a power series in ϵ is a powerful technique used to estimate the value of a definite integral. By following the steps outlined in this article, you can use this technique to approximate an integral and obtain a final answer.
∗ ∗ C o n c l u s i o n ∗ ∗ − − − − − − − − − − A pp ro x ima t in g anin t e g r a l b ye x p an d in g t h e in t e g r an d a s a p o w erser i es in ϵ i s a p o w er f u lt ec hni q u e u se d t oes t ima t e t h e v a l u eo f a d e f ini t e in t e g r a l . B y f o ll o w in g t h es t e p so u tl in e d in t hi s a r t i c l e , yo u c an u se t hi s t ec hni q u e t o a pp ro x ima t e anin t e g r a l an d o b t aina f ina l an s w er .