Arată Că Numărul Rațional Aaa/625 Se Scrie Ca Fracție Zecimală Finită, Oricare Ar Fi Cifra A?

Introducere

În lumea fascinantă a matematicii, numerele raționale ocupă un loc central, fiind acele numere care pot fi exprimate ca raport între două numere întregi. O subcategorie specială a acestora o reprezintă fracțiile zecimale, care pot fi finite sau infinite periodice. În acest articol, ne propunem să explorăm un caz particular: numărul rațional de forma aaa/625, unde a este o cifră oarecare. Scopul nostru este să demonstrăm, în detaliu și cu argumente solide, că acest număr se scrie întotdeauna ca o fracție zecimală finită. Vom descompune problema în pași mici, accesibili, folosind proprietăți fundamentale ale numerelor și ale fracțiilor, astfel încât demonstrația să fie clară și ușor de urmărit pentru oricine.

Ce sunt Fracțiile Zecimale Finite?

Înainte de a ne aventura în demonstrație, este crucial să înțelegem ce înseamnă o fracție zecimală finită. O fracție zecimală finită este un număr rațional care poate fi scris sub forma unui număr cu un număr limitat de cifre după virgulă. De exemplu, 0.25, 1.75 și 3.125 sunt fracții zecimale finite. Din punct de vedere matematic, o fracție p/q (unde p și q sunt numere întregi și q ≠ 0) poate fi scrisă ca fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul q, după simplificarea fracției la forma ireductibilă, are doar factori primi de 2 și/sau 5. Această condiție este esențială, deoarece baza sistemului nostru de numerație (sistemul zecimal) este 10, iar 10 se descompune în factori primi ca 2 × 5. Așadar, orice numitor care este o putere a lui 2, o putere a lui 5, sau un produs de puteri ale lui 2 și 5, va permite fracției să fie exprimată ca o fracție zecimală finită. Această proprietate fundamentală ne va ghida pe parcursul demonstrației noastre.

Importanța Factorilor Primi ai Numitorului

Înțelegerea importanței factorilor primi ai numitorului este cheia pentru a determina dacă o fracție se poate scrie ca fracție zecimală finită. Dacă descompunerea în factori primi a numitorului conține alți factori primi în afară de 2 și 5, atunci fracția va avea o reprezentare zecimală infinită periodică. De exemplu, fracția 1/3 are o reprezentare zecimală infinită periodică (0.333...), deoarece 3 este un factor prim diferit de 2 și 5. Pe de altă parte, fracția 1/4 are o reprezentare zecimală finită (0.25), deoarece 4 = 2², și singurul factor prim este 2. Această distincție este crucială în teoria numerelor și are implicații practice în diverse domenii, de la informatică la inginerie.

În contextul problemei noastre, numitorul este 625. Pentru a determina dacă fracția aaa/625 este o fracție zecimală finită, trebuie să analizăm factorii primi ai lui 625. Acest lucru ne va permite să aplicăm criteriul menționat anterior și să tragem o concluzie validă.

Descompunerea Numitorului 625 în Factori Primi

Pentru a determina dacă numărul rațional aaa/625 se scrie ca fracție zecimală finită, primul pas crucial este să descompunem numitorul, 625, în factori primi. Această descompunere ne va oferi informații esențiale despre structura numitorului și ne va permite să aplicăm criteriul pentru fracții zecimale finite menționat anterior. Descompunerea în factori primi este un proces fundamental în teoria numerelor, care constă în exprimarea unui număr natural ca produs de numere prime. Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are exact doi divizori: 1 și el însuși. Exemple de numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, și așa mai departe.

Procesul de Descompunere în Factori Primi

Pentru a descompune 625 în factori primi, începem prin a-l împărți la cel mai mic număr prim posibil, care este 2. Deoarece 625 este un număr impar, nu este divizibil cu 2. Următorul număr prim este 3. Suma cifrelor lui 625 este 6 + 2 + 5 = 13, care nu este divizibilă cu 3, deci nici 625 nu este divizibil cu 3. Următorul număr prim este 5. Observăm că 625 se termină în 5, deci este divizibil cu 5. Efectuăm împărțirea:

625 ÷ 5 = 125

Acum, repetăm procesul cu 125. Acesta este, de asemenea, divizibil cu 5:

125 ÷ 5 = 25

Continuăm cu 25, care este evident divizibil cu 5:

25 ÷ 5 = 5

În final, 5 este un număr prim, deci descompunerea este completă.

Rezultatul Descompunerii

Am obținut următoarea descompunere în factori primi pentru 625:

625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴

Această descompunere este crucială pentru a înțelege de ce fracția aaa/625 se poate scrie ca fracție zecimală finită. Observăm că singurul factor prim al lui 625 este 5, ceea ce corespunde criteriului pentru fracții zecimale finite. Numitorul nostru este o putere a lui 5, ceea ce înseamnă că putem transforma fracția într-o fracție zecimală finită prin amplificarea corespunzătoare.

Exprimarea Numărătorului aaa

Următorul pas în demonstrația noastră este să analizăm numărătorul fracției, care are forma aaa, unde a este o cifră oarecare. Această formă specifică ne permite să exprimăm numărătorul într-un mod care să ne ajute să simplificăm fracția și să înțelegem mai bine structura sa. În esență, aaa reprezintă un număr format din trei cifre identice, unde cifra a poate lua valori de la 1 la 9 (deoarece o cifră nu poate fi 0). Înțelegerea modului în care putem descompune și exprima acest număr este crucială pentru a demonstra că fracția dată se poate scrie ca o fracție zecimală finită.

Descompunerea Numărului aaa

Pentru a descompune numărul aaa, îl putem scrie ca o sumă de multipli ai puterilor lui 10. Mai exact, avem:

aaa = a × 100 + a × 10 + a × 1

Putem factoriza a din această expresie:

aaa = a × (100 + 10 + 1)

Observăm că suma din paranteze este egală cu 111:

aaa = a × 111

Acum, putem descompune 111 în factori primi. 111 este divizibil cu 3 (deoarece suma cifrelor sale, 1 + 1 + 1 = 3, este divizibilă cu 3). Împărțind 111 la 3, obținem:

111 ÷ 3 = 37

37 este un număr prim, deci descompunerea în factori primi a lui 111 este 3 × 37. Prin urmare, putem scrie numărătorul aaa astfel:

aaa = a × 3 × 37

Această descompunere este importantă deoarece ne arată că numărătorul conține factorii 3 și 37, pe lângă cifra a. Acum putem înlocui această expresie în fracția inițială și să vedem cum putem simplifica fracția.

Importanța Descompunerii pentru Simplificare

Descompunerea numărătorului aaa în a × 3 × 37 ne oferă o perspectivă mai clară asupra structurii fracției. Această descompunere ne permite să identificăm factorii comuni dintre numărător și numitor, ceea ce este esențial pentru simplificarea fracției. Simplificarea fracției este un pas crucial pentru a determina dacă se poate scrie ca o fracție zecimală finită, deoarece criteriul pentru fracții zecimale finite se aplică fracțiilor în forma lor ireductibilă (adică, după ce au fost simplificate la maxim). În secțiunea următoare, vom combina această descompunere cu descompunerea numitorului și vom analiza posibilitățile de simplificare.

Analiza și Simplificarea Fracției aaa/625

Acum că am descompus atât numărătorul aaa cât și numitorul 625 în factori primi, suntem pregătiți să analizăm și să simplificăm fracția aaa/625. Această etapă este crucială pentru a demonstra că fracția se poate scrie ca o fracție zecimală finită. Simplificarea fracției ne va ajuta să identificăm factorii comuni dintre numărător și numitor, ceea ce ne va permite să reducem fracția la forma sa ireductibilă. Odată ce avem fracția în forma ireductibilă, putem aplica criteriul pentru fracții zecimale finite și să tragem o concluzie validă.

Înlocuirea Descompunerilor în Fracție

Am stabilit că numărătorul aaa poate fi scris ca a × 3 × 37, iar numitorul 625 poate fi scris ca 5⁴. Prin urmare, fracția noastră devine:

aaa/625 = (a × 3 × 37) / 5⁴

Observăm că numitorul are doar factorul prim 5, în timp ce numărătorul are factorii primi 3 și 37, pe lângă cifra a. Cifra a poate lua valori de la 1 la 9, deci factorii săi primi pot fi 2, 3, 5, 7 (sau combinații ale acestora). Este important să reținem că, pentru ca fracția să se simplifice, trebuie să existe factori comuni între numărător și numitor. În cazul nostru, singurul factor prim care ar putea fi comun este 5, dacă cifra a ar fi un multiplu de 5. Vom analiza acest caz mai târziu.

Identificarea Factorilor Comuni

În general, fracția (a × 3 × 37) / 5⁴ nu se simplifică, deoarece 3 și 37 nu sunt factori ai lui 5⁴. Cu toate acestea, trebuie să analizăm cazul special în care a este un multiplu de 5. Dacă a = 5, atunci numărătorul devine:

5 × 3 × 37

Și fracția devine:

(5 × 3 × 37) / 5⁴

În acest caz, putem simplifica fracția prin împărțirea numărătorului și numitorului la 5:

(3 × 37) / 5³

Dar chiar și în acest caz, nu există alți factori comuni între numărător și numitor. Dacă a este un alt multiplu de 5 (adică, a = 10, 15, etc.), atunci a nu ar fi o cifră validă (deoarece cifrele sunt de la 0 la 9). Prin urmare, singura simplificare posibilă este atunci când a = 5.

Forma Ireductibilă a Fracției

După simplificare (dacă este cazul), fracția noastră va avea forma:

• Dacă a nu este un multiplu de 5: (a × 3 × 37) / 5⁴
• Dacă a = 5: (3 × 37) / 5³

În ambele cazuri, numitorul este o putere a lui 5. Această observație este crucială pentru pasul următor, unde vom aplica criteriul pentru fracții zecimale finite.

Aplicarea Criteriului pentru Fracții Zecimale Finite

Acum că am analizat și simplificat fracția aaa/625, suntem pregătiți să aplicăm criteriul pentru fracții zecimale finite. Acest criteriu ne spune că o fracție p/q (în forma sa ireductibilă) poate fi scrisă ca o fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul q are doar factori primi de 2 și/sau 5. În cazul nostru, numitorul este o putere a lui 5 (5⁴ sau 5³ după simplificare, dacă a = 5). Aceasta înseamnă că numitorul satisface cerința criteriului.

Analiza Numitorului

Am demonstrat anterior că 625 = 5⁴. După simplificare (dacă a = 5), numitorul devine 5³. În ambele cazuri, singurul factor prim al numitorului este 5. Aceasta este o condiție suficientă pentru ca fracția să fie o fracție zecimală finită. Nu contează ce valoare are cifra a, numitorul va avea întotdeauna doar factorul prim 5 (sau va fi 1 după simplificare, dacă numărătorul este divizibil cu 625, ceea ce nu este cazul aici).

Concluzia Bazată pe Criteriu

Deoarece numitorul fracției aaa/625, în forma sa ireductibilă, are doar factorul prim 5, putem concluziona că fracția se poate scrie ca o fracție zecimală finită, oricare ar fi cifra a. Aceasta este demonstrația finală a afirmației noastre. Putem transforma fracția într-o fracție zecimală finită prin amplificarea numărătorului și numitorului cu o putere corespunzătoare a lui 2, astfel încât numitorul să devină o putere a lui 10. De exemplu, dacă numitorul este 5⁴, putem amplifica fracția cu 2⁴, iar dacă numitorul este 5³, putem amplifica fracția cu 2³.

Exemple Concrete și Conversia în Fracții Zecimale

Pentru a ilustra mai bine demonstrația noastră, să luăm câteva exemple concrete și să convertim fracțiile aaa/625 în fracții zecimale. Acest lucru ne va oferi o confirmare practică a faptului că aceste fracții sunt, într-adevăr, fracții zecimale finite. Vom alege câteva valori diferite pentru cifra a și vom efectua calculele pentru a obține reprezentările zecimale.

Exemplul 1: a = 1

Dacă a = 1, atunci numărul aaa este 111, iar fracția devine 111/625. Pentru a converti această fracție într-o fracție zecimală, putem efectua împărțirea 111 ÷ 625 sau putem amplifica fracția cu o putere a lui 2 astfel încât numitorul să devină o putere a lui 10. Deoarece 625 = 5⁴, vom amplifica fracția cu 2⁴ = 16:

(111/625) × (16/16) = (111 × 16) / (625 × 16) = 1776 / 10000

Acum este ușor să scriem fracția ca o fracție zecimală:

1776 / 10000 = 0.1776

Deci, 111/625 = 0.1776, care este o fracție zecimală finită.

Exemplul 2: a = 5

Dacă a = 5, atunci numărul aaa este 555, iar fracția devine 555/625. Am văzut anterior că această fracție se simplifică la (3 × 37) / 5³ = 111 / 5³. Pentru a converti această fracție într-o fracție zecimală, vom amplifica fracția cu 2³ = 8:

(111/5³) × (8/8) = (111 × 8) / (5³ × 8) = 888 / 1000

Acum putem scrie fracția ca o fracție zecimală:

888 / 1000 = 0.888

Deci, 555/625 = 0.888, care este o fracție zecimală finită.

Exemplul 3: a = 9

Dacă a = 9, atunci numărul aaa este 999, iar fracția devine 999/625. Pentru a converti această fracție într-o fracție zecimală, vom amplifica fracția cu 2⁴ = 16:

(999/625) × (16/16) = (999 × 16) / (625 × 16) = 15984 / 10000

Acum putem scrie fracția ca o fracție zecimală:

15984 / 10000 = 1.5984

Deci, 999/625 = 1.5984, care este o fracție zecimală finită.

Concluzia din Exemple

Aceste exemple concrete demonstrează că, indiferent de valoarea cifrei a, fracția aaa/625 poate fi întotdeauna scrisă ca o fracție zecimală finită. Acest lucru confirmă demonstrația noastră teoretică și ne oferă o înțelegere mai profundă a conceptului de fracții zecimale finite.

Concluzii și Implicații

În acest articol, am demonstrat în detaliu că numărul rațional de forma aaa/625, unde a este o cifră oarecare, se poate scrie întotdeauna ca o fracție zecimală finită. Am realizat acest lucru prin descompunerea numitorului 625 în factori primi, analizând structura numărătorului aaa, simplificând fracția (dacă este cazul), și aplicând criteriul pentru fracții zecimale finite. De asemenea, am prezentat exemple concrete pentru a ilustra și confirma rezultatul nostru.

Recapitularea Pașilor Cheie

1. Am descompus numitorul 625 în factori primi: 625 = 5⁴.
2. Am exprimat numărătorul aaa ca a × 3 × 37.
3. Am analizat posibilitățile de simplificare a fracției (a × 3 × 37) / 5⁴.
4. Am aplicat criteriul pentru fracții zecimale finite, care ne spune că o fracție se poate scrie ca fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul (în forma ireductibilă) are doar factori primi de 2 și/sau 5.
5. Am demonstrat că numitorul fracției noastre are doar factorul prim 5, deci fracția este o fracție zecimală finită.
6. Am prezentat exemple concrete și am convertit fracțiile în formă zecimală pentru a confirma rezultatul.

Implicații și Generalizări

Această demonstrație are implicații importante în înțelegerea numerelor raționale și a reprezentărilor lor zecimale. Criteriul pentru fracții zecimale finite este un instrument puternic care ne permite să determinăm dacă o fracție se poate scrie ca o fracție zecimală finită fără a efectua împărțirea. Această înțelegere este crucială în diverse domenii, cum ar fi informatica (unde reprezentarea binară a numerelor este fundamentală), ingineria și finanțele.

Mai mult, această demonstrație poate fi generalizată pentru a analiza alte fracții de forma xxx/y, unde xxx este un număr format din cifre identice și y este un număr natural. Cheia este să descompunem numitorul y în factori primi și să verificăm dacă acești factori sunt doar 2 și/sau 5. Dacă da, atunci fracția se poate scrie ca o fracție zecimală finită. Dacă nu, atunci fracția va avea o reprezentare zecimală infinită periodică.

Importanța Gândirii Logice și a Demonstrației în Matematică

În final, acest articol subliniază importanța gândirii logice și a demonstrației în matematică. Demonstrația noastră nu doar că ne arată că afirmația este adevărată, dar ne și oferă o înțelegere profundă a motivelor pentru care este adevărată. Această înțelegere este esențială pentru a aplica conceptele matematice în contexte noi și pentru a rezolva probleme complexe. Matematica nu este doar despre memorarea formulelor, ci despre dezvoltarea unei gândiri critice și analitice, care ne permite să explorăm și să înțelegem lumea din jurul nostru.

Numărul rațional aaa/625 poate fi transformat într-o fracție zecimală finită, indiferent de valoarea cifrei a. Pentru a demonstra acest lucru, este esențial să înțelegem ce înseamnă o fracție zecimală finită și cum putem identifica dacă o fracție se încadrează în această categorie. În esență, o fracție zecimală finită este un număr care poate fi exprimat cu un număr limitat de cifre după virgulă. Aceasta înseamnă că, după un anumit număr de zecimale, numărul se termină, spre deosebire de fracțiile zecimale periodice, unde o secvență de cifre se repetă la infinit.

Condiții pentru Fracții Zecimale Finite

O fracție p/q, unde p și q sunt numere întregi și q ≠ 0, poate fi scrisă ca fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul q, după simplificarea fracției la forma ireductibilă, are doar factori primi de 2 și/sau 5. Această condiție derivă direct din baza sistemului nostru de numerație, care este 10, iar 10 se descompune în factori primi ca 2 × 5. Astfel, orice numitor care este o putere a lui 2, o putere a lui 5, sau un produs de puteri ale lui 2 și 5, va permite fracției să fie exprimată ca o fracție zecimală finită. Această proprietate este fundamentală în teoria numerelor și are implicații practice în diverse domenii, de la informatică la inginerie. În contextul acestei probleme, vom analiza dacă numitorul 625 respectă această condiție.

Analiza Numitorului 625

Pentru a demonstra că numărul rațional aaa/625 se scrie ca fracție zecimală finită, este crucial să descompunem numitorul 625 în factori primi. Această descompunere ne va permite să identificăm factorii primi ai numitorului și să verificăm dacă se încadrează în criteriul specificat mai sus. Descompunerea în factori primi este un proces esențial în teoria numerelor, care constă în exprimarea unui număr natural ca produs de numere prime. Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are exact doi divizori: 1 și el însuși. Exemple de numere prime includ 2, 3, 5, 7, 11, 13, și așa mai departe. Vom aplica acest proces pentru a descompune 625 și a înțelege structura sa fundamentală.

Descompunerea lui 625 în Factori Primi

Pentru a descompune 625 în factori primi, începem prin a căuta cel mai mic număr prim care îl divide pe 625. Observăm că 625 nu este divizibil cu 2 (deoarece este un număr impar) și nici cu 3 (deoarece suma cifrelor sale, 6 + 2 + 5 = 13, nu este divizibilă cu 3). Următorul număr prim este 5. Vedem că 625 se termină în 5, deci este divizibil cu 5. Efectuăm împărțirea:

625 ÷ 5 = 125

Acum, repetăm procesul cu 125. Acesta este, de asemenea, divizibil cu 5:

125 ÷ 5 = 25

Continuăm cu 25, care este evident divizibil cu 5:

25 ÷ 5 = 5

În final, 5 este un număr prim, deci descompunerea este completă. Am obținut:

625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴

Această descompunere este crucială. Observăm că 625 are un singur factor prim, și anume 5. Acest lucru este un indiciu puternic că numărul rațional aaa/625 poate fi scris ca fracție zecimală finită, deoarece respectă criteriul menționat anterior. Vom analiza mai departe cum putem utiliza această informație pentru a demonstra afirmația.

Analiza Numărătorului aaa

Acum că am stabilit natura numitorului, ne îndreptăm atenția către numărătorul aaa. Numărul aaa este format din trei cifre identice, unde a poate lua valori de la 1 la 9. Pentru a înțelege comportamentul fracției aaa/625, este important să exprimăm numărul aaa într-o formă mai manipulabilă. Putem face acest lucru prin descompunerea sa în funcție de puterile lui 10.

Descompunerea lui aaa

Numărul aaa poate fi scris ca suma:

aaa = a × 100 + a × 10 + a × 1

Putem factoriza a din această expresie:

aaa = a × (100 + 10 + 1) = a × 111

Acum, să analizăm numărul 111. Putem descompune 111 în factori primi. Observăm că 111 este divizibil cu 3 (deoarece suma cifrelor sale, 1 + 1 + 1 = 3, este divizibilă cu 3). Împărțind 111 la 3, obținem:

111 ÷ 3 = 37

37 este un număr prim, deci descompunerea în factori primi a lui 111 este:

111 = 3 × 37

Prin urmare, numărătorul aaa poate fi scris ca:

aaa = a × 3 × 37

Această formă a numărătorului ne permite să analizăm mai bine fracția aaa/625 și să vedem dacă se pot efectua simplificări.

Simplificarea Fracției aaa/625

Acum avem numărătorul aaa exprimat ca a × 3 × 37 și numitorul 625 exprimat ca 5⁴. Fracția noastră devine:

aaa/625 = (a × 3 × 37) / 5⁴

Pentru a determina dacă această fracție se poate scrie ca fracție zecimală finită, trebuie să o aducem la forma sa ireductibilă. Acest lucru implică simplificarea fracției prin eliminarea factorilor comuni dintre numărător și numitor. În acest caz, numitorul are factorul prim 5, iar numărătorul are factorii primi 3 și 37, pe lângă cifra a. Cifra a poate lua valori de la 1 la 9, deci factorii săi primi pot fi 2, 3, 5, sau 7 (sau combinații ale acestora). Vom analiza dacă există factori comuni care pot fi simplificați.

Analiza Factorilor Comuni

Observăm că singurul factor prim care ar putea fi comun între numărător și numitor este 5, dar numai dacă cifra a este un multiplu de 5. Dacă a = 5, atunci numărătorul devine:

5 × 3 × 37 = 555

Și fracția devine:

555/625 = (5 × 111) / (5 × 125)

Putem simplifica fracția prin împărțirea numărătorului și numitorului la 5:

555/625 = 111/125

Dar și în acest caz, nu există alți factori comuni între 111 și 125, deoarece 111 = 3 × 37 și 125 = 5³. Deci, forma ireductibilă a fracției este 111/125.

Forma Ireductibilă și Criteriul Fracțiilor Zecimale Finite

În general, după simplificare (dacă este posibil), fracția noastră va avea una dintre următoarele forme:

• Dacă a nu este un multiplu de 5: (a × 3 × 37) / 5⁴
• Dacă a = 5: (3 × 37) / 5³ = 111 / 5³

În ambele cazuri, numitorul este o putere a lui 5. Acum putem aplica criteriul pentru fracții zecimale finite, care spune că o fracție se poate scrie ca fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul (în forma sa ireductibilă) are doar factori primi de 2 și/sau 5. Deoarece numitorul nostru are doar factorul prim 5, putem trage concluzia că fracția aaa/625 se poate scrie ca fracție zecimală finită, oricare ar fi cifra a.

Concluzie: Fracția aaa/625 este o Fracție Zecimală Finită

În concluzie, am demonstrat că numărul rațional aaa/625 se scrie ca fracție zecimală finită, oricare ar fi cifra a. Am ajuns la această concluzie prin:

1. Descompunerea numitorului 625 în factori primi: 625 = 5⁴.
2. Exprimarea numărătorului aaa ca a × 3 × 37.
3. Simplificarea fracției (dacă este posibil) și constatarea că numitorul rămâne o putere a lui 5.
4. Aplicarea criteriului pentru fracții zecimale finite, care ne spune că o fracție se poate scrie ca fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul (în forma sa ireductibilă) are doar factori primi de 2 și/sau 5.

Deoarece numitorul fracției aaa/625 are doar factorul prim 5, am demonstrat că fracția este o fracție zecimală finită, indiferent de valoarea cifrei a. Această demonstrație subliniază importanța descompunerii în factori primi și a înțelegerii criteriilor pentru fracții zecimale finite în teoria numerelor.

Exemple Practice

Pentru a ilustra acest concept, putem lua câteva exemple concrete pentru diferite valori ale cifrei a:

1. Dacă a = 1, atunci fracția este 111/625. Pentru a transforma această fracție într-o fracție zecimală finită, putem amplifica numărătorul și numitorul cu 2⁴ (deoarece 625 = 5⁴), care este egal cu 16:

   (111/625) × (16/16) = 1776/10000 = 0.1776

2. Dacă a = 5, atunci fracția este 555/625. Am văzut că aceasta se simplifică la 111/125. Pentru a transforma această fracție într-o fracție zecimală finită, putem amplifica numărătorul și numitorul cu 2³ (deoarece 125 = 5³), care este egal cu 8:

   (111/125) × (8/8) = 888/1000 = 0.888

3. Dacă a = 9, atunci fracția este 999/625. Amplificăm numărătorul și numitorul cu 2⁴ = 16:

   (999/625) × (16/16) = 15984/10000 = 1.5984

Aceste exemple arată că, indiferent de valoarea lui a, fracția aaa/625 poate fi întotdeauna exprimată ca o fracție zecimală finită.

Concluzii Finale

Am demonstrat, atât teoretic cât și practic, că numărul rațional aaa/625 se scrie ca fracție zecimală finită, oricare ar fi cifra a. Această concluzie este un exemplu excelent al modului în care teoria numerelor ne poate ajuta să înțelegem proprietățile fundamentale ale numerelor și fracțiilor.