BAC Matematica M1 2025 Sub. I 5. În Reperul Cartezian XOy Se Consideră Punctele A(0, 1), B(5, 0), C(6, 3) Și D(a, B), Unde A Și B Sunt Numere Reale. Cum Se Determină Numerele Reale A Și B, Știind Că Segmentele AC Și BD Au Același Mijloc?

by ADMIN 238 views

Introducere

În contextul examenului de BAC Matematica M1 2025, subiectul I, problema 5, ne confruntăm cu o provocare din geometria analitică. Problema ne oferă trei puncte, A, B și C, ale căror coordonate sunt cunoscute, și un al patrulea punct, D, ale cărui coordonate trebuie să le determinăm. Ceea ce face această problemă interesantă este condiția suplimentară: segmentele AC și BD au același mijloc. Această condiție ne oferă o legătură directă între coordonatele punctelor și ne permite să folosim formulele mijlocului unui segment pentru a rezolva problema. Acest tip de problemă este esențial în pregătirea pentru examenul de bacalaureat, deoarece testează capacitatea de a aplica concepte teoretice în situații practice și de a efectua calcule precise. Geometria analitică este o ramură importantă a matematicii, fiind adesea întâlnită în diverse contexte și aplicații. Înțelegerea profundă a conceptelor și formulelor de bază, cum ar fi mijlocul unui segment, este crucială pentru succesul la examen.

În următoarele secțiuni, vom explora pas cu pas cum să abordăm și să rezolvăm această problemă. Vom începe prin a reaminti formula mijlocului unui segment și apoi vom aplica această formulă pentru a găsi mijlocul segmentului AC. Apoi, vom folosi condiția dată în problemă pentru a stabili o relație între coordonatele punctului D și coordonatele punctelor B și mijlocul segmentului AC. În final, vom rezolva ecuațiile rezultate pentru a determina coordonatele a și b ale punctului D. Această abordare sistematică ne va permite să înțelegem nu doar cum să rezolvăm această problemă specifică, ci și cum să abordăm alte probleme similare în viitor. Prin urmare, vă invităm să parcurgeți cu atenție următoarele secțiuni și să vă consolidați cunoștințele de geometrie analitică.

Reamintim Formula Mijlocului unui Segment

Înainte de a ne aventura în rezolvarea propriu-zisă a problemei, este crucial să ne reamintim formula mijlocului unui segment. Această formulă este piatra de temelie a rezolvării, deoarece ne permite să facem legătura între coordonatele punctelor și poziția mijlocului segmentului format de acestea. Formula este destul de simplă, dar aplicarea ei corectă necesită atenție la detalii și o înțelegere clară a conceptelor de bază. Să presupunem că avem două puncte în plan, P(x₁, y₁) și Q(x₂, y₂). Mijlocul segmentului PQ, pe care îl vom nota cu M(xₘ, yₘ), are coordonatele date de următoarele formule:

  • xₘ = (x₁ + x₂) / 2
  • yₘ = (y₁ + y₂) / 2

Această formulă ne spune că abscisa mijlocului (xₘ) este media aritmetică a absciselor extremităților segmentului (x₁ și x₂), iar ordonata mijlocului (yₘ) este media aritmetică a ordonatelor extremităților segmentului (y₁ și y₂). În esență, mijlocul unui segment se află la jumătatea distanței atât pe orizontală, cât și pe verticală, între cele două puncte. Această interpretare geometrică ne ajută să înțelegem de ce formula funcționează și cum o putem aplica în diferite contexte.

Pentru a ne asigura că înțelegem pe deplin formula, să luăm un exemplu simplu. Să presupunem că avem punctele A(1, 2) și B(5, 4). Aplicând formula mijlocului, obținem:

  • xₘ = (1 + 5) / 2 = 3
  • yₘ = (2 + 4) / 2 = 3

Așadar, mijlocul segmentului AB este punctul M(3, 3). Acum că am reamintit formula mijlocului unui segment, suntem pregătiți să o aplicăm în contextul problemei noastre de la BAC Matematica M1 2025. Vom folosi această formulă pentru a determina mijlocul segmentului AC, care este un pas crucial în găsirea coordonatelor punctului D.

Calculăm Mijlocul Segmentului AC

Acum că am reamintit formula mijlocului unui segment, suntem gata să o aplicăm în contextul problemei noastre. Unul dintre pașii esențiali în rezolvarea acestei probleme este determinarea mijlocului segmentului AC. Punctele A și C ne sunt date, cu coordonatele A(0, 1) și C(6, 3). Vom folosi formula mijlocului pentru a găsi coordonatele mijlocului segmentului AC, pe care îl vom nota cu M. Aplicând formula, avem:

  • xₘ = (x_A + x_C) / 2 = (0 + 6) / 2 = 3
  • yₘ = (y_A + y_C) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2

Așadar, mijlocul segmentului AC este punctul M(3, 2). Acest rezultat este crucial, deoarece problema ne spune că segmentele AC și BD au același mijloc. Aceasta înseamnă că punctul M(3, 2) este și mijlocul segmentului BD. Acum avem o informație importantă care ne va ajuta să determinăm coordonatele punctului D. Cunoaștem coordonatele punctului B (5, 0) și coordonatele mijlocului segmentului BD (3, 2). Putem folosi din nou formula mijlocului, de data aceasta "invers", pentru a găsi coordonatele punctului D. Această tehnică de a aplica formula mijlocului în ambele direcții este o abilitate valoroasă în geometria analitică și este adesea necesară în rezolvarea problemelor mai complexe.

În următoarea secțiune, vom folosi această informație pentru a stabili o ecuație care ne va permite să găsim coordonatele a și b ale punctului D. Vom vedea cum condiția că segmentele AC și BD au același mijloc ne oferă o legătură directă între coordonatele punctelor și cum putem folosi această legătură pentru a rezolva problema. Este important să înțelegem că fiecare pas pe care îl facem ne apropie de soluție și că aplicarea corectă a formulelor și conceptelor este cheia succesului.

Folosim Condiția: Segmentele AC și BD au Același Mijloc

Un aspect crucial al acestei probleme este condiția conform căreia segmentele AC și BD au același mijloc. Am determinat deja că mijlocul segmentului AC este punctul M(3, 2). Prin urmare, știm că M este și mijlocul segmentului BD. Această informație ne oferă o legătură directă între coordonatele punctelor B și D și ne permite să folosim din nou formula mijlocului pentru a găsi coordonatele punctului D.

Știm că B are coordonatele (5, 0) și că D are coordonatele (a, b), pe care încercăm să le determinăm. Mijlocul segmentului BD este M(3, 2). Aplicând formula mijlocului pentru segmentul BD, obținem următoarele ecuații:

  • (5 + a) / 2 = 3 (abscisa mijlocului)
  • (0 + b) / 2 = 2 (ordonata mijlocului)

Acum avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute (a și b). Rezolvarea acestui sistem ne va da coordonatele punctului D. Prima ecuație ne spune că media aritmetică a absciselor punctelor B și D este 3, iar a doua ecuație ne spune că media aritmetică a ordonatelor punctelor B și D este 2. Aceste ecuații sunt destul de simple și pot fi rezolvate cu ușurință.

În următoarea secțiune, vom rezolva aceste ecuații pas cu pas pentru a determina valorile lui a și b. Vom vedea cum transformarea ecuațiilor și aplicarea operațiilor algebrice de bază ne conduc la soluția finală. Este important să fim atenți la detalii și să efectuăm calculele cu precizie pentru a evita erorile. Rezolvarea corectă a acestui sistem de ecuații este cheia pentru a găsi coordonatele punctului D și pentru a finaliza rezolvarea problemei.

Rezolvăm Ecuațiile pentru a Determina Coordonatele lui D

În secțiunea precedentă, am stabilit un sistem de două ecuații care ne va permite să găsim coordonatele punctului D. Ecuațiile sunt:

  1. (5 + a) / 2 = 3
  2. (0 + b) / 2 = 2

Acum, vom rezolva aceste ecuații pas cu pas. Să începem cu prima ecuație:

(5 + a) / 2 = 3

Pentru a elimina fracția, putem înmulți ambele părți ale ecuației cu 2:

5 + a = 6

Acum, putem scădea 5 din ambele părți pentru a izola variabila a:

a = 6 - 5 a = 1

Așadar, am găsit că a = 1. Acum, să rezolvăm a doua ecuație:

(0 + b) / 2 = 2

Din nou, înmulțim ambele părți cu 2 pentru a elimina fracția:

0 + b = 4 b = 4

Așadar, am găsit că b = 4. Acum avem ambele coordonate ale punctului D: a = 1 și b = 4. Prin urmare, punctul D are coordonatele (1, 4). Am rezolvat astfel problema, determinând coordonatele punctului D folosind formula mijlocului unui segment și condiția dată în problemă.

Este important să ne verificăm răspunsul pentru a ne asigura că nu am făcut nicio greșeală. Putem verifica dacă mijlocul segmentului BD este într-adevăr M(3, 2) folosind coordonatele punctelor B(5, 0) și D(1, 4). Aplicând formula mijlocului, obținem:

  • xₘ = (5 + 1) / 2 = 3
  • yₘ = (0 + 4) / 2 = 2

Într-adevăr, mijlocul segmentului BD este M(3, 2), ceea ce confirmă că răspunsul nostru este corect. În secțiunea următoare, vom recapitula pașii pe care i-am urmat pentru a rezolva problema și vom discuta importanța înțelegerii conceptelor de bază în geometria analitică.

Concluzie și Recapitulare

În acest articol, am explorat în detaliu o problemă tipică de geometrie analitică de la examenul de BAC Matematica M1 2025, subiectul I, problema 5. Am fost provocați să determinăm coordonatele unui punct D, știind coordonatele punctelor A, B și C și condiția că segmentele AC și BD au același mijloc. Pentru a rezolva această problemă, am urmat o serie de pași logici și bine definiți:

  1. Am reamintit formula mijlocului unui segment, care este piatra de temelie a rezolvării. Această formulă ne permite să facem legătura între coordonatele punctelor și poziția mijlocului segmentului format de acestea.
  2. Am calculat mijlocul segmentului AC, folosind coordonatele punctelor A și C și formula mijlocului. Am obținut că mijlocul segmentului AC este punctul M(3, 2).
  3. Am folosit condiția că segmentele AC și BD au același mijloc pentru a deduce că M(3, 2) este și mijlocul segmentului BD. Această informație ne-a oferit o legătură directă între coordonatele punctelor B și D.
  4. Am stabilit un sistem de două ecuații cu două necunoscute (coordonatele a și b ale punctului D), folosind formula mijlocului pentru segmentul BD.
  5. Am rezolvat ecuațiile pentru a determina coordonatele punctului D. Am găsit că a = 1 și b = 4, deci punctul D are coordonatele (1, 4).
  6. Am verificat răspunsul pentru a ne asigura că nu am făcut nicio greșeală. Am verificat dacă mijlocul segmentului BD este într-adevăr M(3, 2) folosind coordonatele punctelor B și D și am confirmat că răspunsul nostru este corect.

Această problemă ne demonstrează importanța înțelegerii conceptelor de bază în geometria analitică și a capacității de a aplica aceste concepte în situații practice. Formula mijlocului unui segment este un instrument puternic, dar aplicarea ei corectă necesită atenție la detalii și o înțelegere clară a modului în care funcționează. De asemenea, problema ne arată cum condițiile suplimentare, cum ar fi faptul că două segmente au același mijloc, pot oferi legături cruciale între coordonatele punctelor și pot simplifica rezolvarea problemei.

Pentru a vă pregăti eficient pentru examenul de bacalaureat, este esențial să exersați cât mai multe probleme de acest tip. Încercați să variați condițiile și să vedeți cum se schimbă abordarea rezolvării. De asemenea, este important să înțelegeți nu doar cum să aplicați formulele, ci și de ce funcționează aceste formule. O înțelegere profundă a conceptelor vă va permite să abordați cu încredere chiar și cele mai dificile probleme. Vă dorim mult succes în pregătirea pentru examenul de bacalaureat și sperăm că acest articol v-a fost de ajutor.