Determinați Ecuația Funcției Liniare Al Cărei Grafic Trece Prin Punctele A(1, 3) Și B(2, 4).

by ADMIN 93 views

Introducere în funcțiile liniare

În matematică, funcțiile liniare reprezintă un concept fundamental, fiind baza pentru multe alte noțiuni mai complexe. O funcție liniară este, în esență, o relație între două variabile, unde variația uneia determină o variație proporțională a celeilalte. Această proporționalitate se reflectă grafic printr-o linie dreaptă, de unde și denumirea de funcție liniară. Înțelegerea funcțiilor liniare este crucială pentru a putea modela diverse fenomene din viața reală, de la mișcarea uniformă a unui obiect până la relațiile economice dintre preț și cerere. În acest articol, ne vom concentra pe determinarea unei funcții liniare specifice, cunoscând două puncte care aparțin graficului său. Vom explora pașii necesari pentru a găsi ecuația funcției liniare, utilizând metode algebrice și interpretări geometrice. Această abilitate este esențială nu doar în matematică, ci și în fizică, inginerie și alte domenii științifice, unde funcțiile liniare sunt utilizate pentru a aproxima relații complexe și pentru a face predicții. Prin urmare, stăpânirea conceptului de funcție liniară și a metodelor de determinare a acesteia este un pas important în dezvoltarea unei înțelegeri profunde a matematicii și a aplicațiilor sale practice. Vom utiliza exemple concrete și explicații detaliate pentru a asigura o înțelegere clară și completă a subiectului. Acest articol își propune să ofere o abordare pas cu pas, accesibilă chiar și pentru cei care se familiarizează pentru prima dată cu conceptul de funcție liniară, dar și să ofere o perspectivă aprofundată pentru cei care doresc să își consolideze cunoștințele.

Forma generală a unei funcții liniare

În esență, o funcție liniară este reprezentată de o ecuație de forma f(x) = mx + n, unde m și n sunt constante reale. Aceste constante au semnificații geometrice importante: m reprezintă panta liniei drepte, adică gradul de înclinare a liniei față de axa Ox, în timp ce n reprezintă ordonata la origine, adică punctul în care linia intersectează axa Oy. Panta m indică cât de mult se modifică valoarea lui y pentru o modificare unitară a lui x. O pantă pozitivă înseamnă că funcția este crescătoare, adică valoarea lui y crește pe măsură ce x crește, în timp ce o pantă negativă indică o funcție descrescătoare. O pantă de zero înseamnă că linia este orizontală, iar funcția este constantă. Ordonata la origine n ne spune valoarea lui y atunci când x este zero. Aceasta este punctul de intersecție al graficului funcției cu axa verticală și este un punct cheie pentru a înțelege comportamentul funcției în apropierea originii. Forma f(x) = mx + n este cunoscută și sub denumirea de ecuația pantei-ordonate la origine, deoarece evidențiază direct acești doi parametri importanți. Înțelegerea acestei forme generale este crucială pentru a putea manipula și analiza funcțiile liniare. De exemplu, putem determina rapid panta și ordonata la origine ale unei funcții dacă ecuația este dată în această formă. De asemenea, putem scrie ecuația unei funcții liniare dacă cunoaștem panta și ordonata la origine. Această flexibilitate este esențială pentru rezolvarea problemelor practice care implică funcții liniare. În plus, forma generală ne permite să comparăm diferite funcții liniare și să înțelegem cum diferă comportamentul lor în funcție de valorile lui m și n.

Metoda de determinare a funcției liniare

Pentru a determina o funcție liniară al cărei grafic conține două puncte date, cum ar fi A(1; 3) și B(2; 4), vom urma o metodă pas cu pas care implică utilizarea ecuației generale a funcției liniare și a proprietăților punctelor de pe grafic. Primul pas este să înțelegem că fiecare punct de pe graficul funcției liniare satisface ecuația f(x) = mx + n. Aceasta înseamnă că putem înlocui coordonatele x și y ale fiecărui punct în ecuație și vom obține o ecuație adevărată. Astfel, cu două puncte, vom obține două ecuații cu două necunoscute, m și n. Acesta este un sistem de ecuații liniare pe care îl putem rezolva pentru a găsi valorile lui m și n. În cazul punctelor A(1; 3) și B(2; 4), vom avea următoarele ecuații:

  • Pentru punctul A(1; 3): 3 = m * 1 + n, care se simplifică la 3 = m + n.
  • Pentru punctul B(2; 4): 4 = m * 2 + n, care se simplifică la 4 = 2m + n.

Acum avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

  1. m + n = 3
  2. 2m + n = 4

Există mai multe metode de a rezolva acest sistem, cum ar fi metoda substituției, metoda reducerii sau metoda grafică. Vom folosi metoda reducerii, care implică scăderea uneia dintre ecuații din cealaltă pentru a elimina una dintre necunoscute. Dacă scădem ecuația 1 din ecuația 2, obținem:

(2m + n) - (m + n) = 4 - 3, care se simplifică la m = 1.

Acum că am găsit valoarea lui m, o putem înlocui în oricare dintre ecuațiile inițiale pentru a găsi valoarea lui n. Vom folosi ecuația 1: 1 + n = 3, care implică n = 2.

Astfel, am determinat valorile lui m și n: m = 1 și n = 2. Acum putem scrie ecuația funcției liniare: f(x) = 1x + 2, sau mai simplu, f(x) = x + 2. Aceasta este funcția liniară al cărei grafic conține punctele A(1; 3) și B(2; 4).

Exemplu detaliat de aplicare a metodei

Pentru a ilustra mai bine metoda de determinare a funcției liniare, vom parcurge pașii în detaliu, aplicând-o punctelor A(1; 3) și B(2; 4). Primul pas, așa cum am menționat, este de a înlocui coordonatele punctelor în ecuația generală a funcției liniare, f(x) = mx + n. Pentru punctul A(1; 3), avem x = 1 și y = 3, deci ecuația devine 3 = m * 1 + n, care se simplifică la 3 = m + n. Aceasta este prima noastră ecuație. Apoi, pentru punctul B(2; 4), avem x = 2 și y = 4, deci ecuația devine 4 = m * 2 + n, care se simplifică la 4 = 2m + n. Aceasta este a doua noastră ecuație. Acum avem sistemul de ecuații:

  1. m + n = 3
  2. 2m + n = 4

Următorul pas este de a rezolva acest sistem pentru a găsi valorile lui m și n. Am ales metoda reducerii, dar am putea folosi și metoda substituției. Metoda reducerii implică eliminarea uneia dintre variabile prin adunarea sau scăderea ecuațiilor. În acest caz, observăm că coeficienții lui n sunt egali în ambele ecuații, deci putem elimina n prin scăderea ecuației 1 din ecuația 2. Astfel, obținem: (2m + n) - (m + n) = 4 - 3. Această ecuație se simplifică la 2m + n - m - n = 1, și mai departe la m = 1. Acum am găsit valoarea pantei, m = 1. Pasul următor este de a înlocui valoarea lui m în una dintre ecuațiile inițiale pentru a găsi valoarea lui n. Putem folosi ecuația 1: m + n = 3. Înlocuind m cu 1, obținem 1 + n = 3. Scăzând 1 din ambele părți, obținem n = 2. Am găsit astfel valoarea ordonatei la origine, n = 2. În final, putem scrie ecuația funcției liniare, înlocuind valorile lui m și n în ecuația generală: f(x) = mx + n. Astfel, obținem f(x) = 1x + 2, sau mai simplu, f(x) = x + 2. Aceasta este funcția liniară al cărei grafic conține punctele A(1; 3) și B(2; 4). Putem verifica acest rezultat înlocuind coordonatele punctelor A și B în ecuația funcției și verificând dacă ecuația este satisfăcută. Pentru punctul A(1; 3), avem f(1) = 1 + 2 = 3, ceea ce este corect. Pentru punctul B(2; 4), avem f(2) = 2 + 2 = 4, ceea ce este de asemenea corect. Astfel, am confirmat că funcția f(x) = x + 2 este într-adevăr funcția liniară pe care o căutăm.

Interpretarea geometrică a rezultatului

Interpretarea geometrică a funcției liniare f(x) = x + 2 ne oferă o perspectivă vizuală asupra relației dintre variabilele x și y. Am stabilit că graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, iar ecuația f(x) = x + 2 ne spune cum se comportă această linie în planul cartezian. Panta m = 1 ne indică faptul că linia urcă cu o unitate pe verticală pentru fiecare unitate pe care o avansăm pe orizontală. Aceasta înseamnă că linia are o înclinație de 45 de grade față de axa Ox. Ordonata la origine n = 2 ne spune că linia intersectează axa Oy în punctul (0, 2). Acesta este punctul de plecare al liniei pe axa verticală. Cunoscând panta și ordonata la origine, putem trasa cu ușurință graficul funcției. Începem prin a marca punctul (0, 2) pe axa Oy. Apoi, folosind panta, ne deplasăm o unitate la dreapta și o unitate în sus, ajungând în punctul (1, 3), care este punctul A. Repetăm acest proces și ajungem în punctul (2, 4), care este punctul B. Tragem o linie dreaptă prin aceste puncte și obținem graficul funcției f(x) = x + 2. Graficul ne arată clar relația liniară dintre x și y. Pe măsură ce x crește, y crește, iar rata de creștere este constantă, fiind determinată de panta. De asemenea, putem observa că punctele A și B se află pe linie, ceea ce confirmă că funcția pe care am determinat-o este corectă. Interpretarea geometrică ne ajută să înțelegem mai bine conceptul de funcție liniară și să vizualizăm relațiile matematice. De asemenea, ne oferă o metodă alternativă de a verifica rezultatele obținute algebric. Dacă am fi trasat graficul funcției pe baza ecuației și am fi observat că punctele A și B nu se află pe linie, am fi știut că am făcut o greșeală în calculele noastre. În concluzie, interpretarea geometrică este un instrument valoros pentru înțelegerea și verificarea funcțiilor liniare. Ne oferă o perspectivă complementară asupra conceptului și ne ajută să facem conexiuni între algebra și geometria.

Verificarea soluției și concluzii

După ce am determinat funcția liniară f(x) = x + 2, este esențial să verificăm dacă soluția noastră este corectă. Această verificare ne asigură că am urmat corect pașii metodei și că funcția pe care am găsit-o satisface condițiile problemei. Metoda principală de verificare este de a înlocui coordonatele punctelor A(1; 3) și B(2; 4) în ecuația funcției și de a verifica dacă egalitățile rezultate sunt adevărate. Pentru punctul A(1; 3), înlocuim x cu 1 și f(x) cu 3 în ecuația f(x) = x + 2. Obținem 3 = 1 + 2, care este o egalitate adevărată. Aceasta confirmă că punctul A se află pe graficul funcției f(x) = x + 2. Pentru punctul B(2; 4), înlocuim x cu 2 și f(x) cu 4 în ecuația f(x) = x + 2. Obținem 4 = 2 + 2, care este de asemenea o egalitate adevărată. Aceasta confirmă că punctul B se află pe graficul funcției f(x) = x + 2. Deoarece ambele puncte A și B satisfac ecuația funcției, putem concluziona că f(x) = x + 2 este funcția liniară corectă al cărei grafic conține aceste puncte. O altă metodă de verificare, așa cum am menționat în secțiunea despre interpretarea geometrică, este de a trasa graficul funcției și de a verifica vizual dacă punctele A și B se află pe linie. Dacă punctele nu s-ar afla pe linie, ar însemna că am făcut o greșeală în calculele noastre. În concluzie, determinarea unei funcții liniare al cărei grafic conține două puncte date este o problemă fundamentală în matematică, cu aplicații practice în diverse domenii. Metoda pe care am prezentat-o, care implică rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, este o tehnică eficientă și general aplicabilă. Verificarea soluției este un pas crucial pentru a ne asigura că am obținut rezultatul corect. În plus, interpretarea geometrică ne oferă o perspectivă vizuală asupra problemei și ne ajută să înțelegem mai bine conceptul de funcție liniară. Prin stăpânirea acestor concepte și metode, vom fi mai bine pregătiți să abordăm probleme mai complexe care implică funcții liniare și alte tipuri de funcții.