Găsiți Valorile Lui M Pentru Ca 4x^2 - (m+1)x + 2m + 7 > 0 Să Fie Adevărat Pentru Orice X Real.
Introducere
Această problemă de matematică ne cere să determinăm valorile parametrului real m pentru care inegalitatea 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0 este adevărată pentru orice x real. Aceasta este o problemă tipică de algebră, care implică studiul funcțiilor de gradul al doilea și condițiile pentru ca o astfel de funcție să fie strict pozitivă pe întreaga axă reală. Pentru a rezolva această problemă, vom folosi proprietățile discriminantului unei ecuații de gradul al doilea și vom analiza modul în care acesta influențează semnul expresiei.
Înțelegerea inegalității de gradul al doilea
Pentru a înțelege pe deplin problema, să începem cu o recapitulare a inegalităților de gradul al doilea. O inegalitate de gradul al doilea este o inegalitate care implică un polinom de gradul al doilea. Forma generală a unei astfel de inegalități este ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 sau ax² + bx + c ≤ 0, unde a, b și c sunt coeficienți reali și a ≠ 0. Semnul expresiei ax² + bx + c depinde de semnul coeficientului a și de valorile discriminantului Δ = b² - 4ac.
În cazul nostru, avem inegalitatea 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0. Aceasta este o inegalitate de gradul al doilea cu a = 4, b = -(m+1) și c = 2m + 7. Pentru ca această inegalitate să fie adevărată pentru orice x real, trebuie să ne asigurăm că parabola reprezentată de funcția f(x) = 4x² - (m+1)x + 2m + 7 este situată deasupra axei x în întregime. Aceasta înseamnă că funcția nu trebuie să aibă rădăcini reale, adică discriminantul trebuie să fie negativ.
Discriminantul și semnul funcției de gradul al doilea
Discriminantul Δ al unei ecuații de gradul al doilea ax² + bx + c = 0 este dat de formula Δ = b² - 4ac. Discriminantul ne oferă informații cruciale despre natura rădăcinilor ecuației și, implicit, despre semnul funcției de gradul al doilea. Există trei cazuri principale:
- Δ > 0: Ecuația are două rădăcini reale distincte. Parabola intersectează axa x în două puncte, iar funcția își schimbă semnul în jurul acestor rădăcini.
- Δ = 0: Ecuația are o rădăcină reală dublă. Parabola este tangentă la axa x, iar funcția are același semn pe întreaga axă reală, cu excepția punctului de tangență, unde este zero.
- Δ < 0: Ecuația nu are rădăcini reale. Parabola nu intersectează axa x, iar funcția are același semn pe întreaga axă reală. Acest semn este determinat de semnul coeficientului a.
În cazul nostru, dorim ca funcția 4x² - (m+1)x + 2m + 7 să fie strict pozitivă pentru orice x real. Aceasta înseamnă că parabola trebuie să fie situată deasupra axei x și să nu o intersecteze niciodată. Prin urmare, avem nevoie de discriminant negativ (Δ < 0) și de coeficientul lui x² pozitiv (a > 0), ceea ce este deja adevărat în cazul nostru (a = 4).
Calculul discriminantului
Pentru inegalitatea noastră 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0, coeficienții sunt a = 4, b = -(m+1) și c = 2m + 7. Calculăm discriminantul:
Δ = b² - 4ac = [-(m+1)]² - 4 * 4 * (2m + 7)
Δ = (m+1)² - 16(2m + 7)
Δ = m² + 2m + 1 - 32m - 112
Δ = m² - 30m - 111
Pentru ca inegalitatea 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0 să fie adevărată pentru orice x real, trebuie să avem Δ < 0. Prin urmare, trebuie să rezolvăm inegalitatea:
m² - 30m - 111 < 0
Rezolvarea inegalității discriminantului
Pentru a rezolva inegalitatea m² - 30m - 111 < 0, vom găsi mai întâi rădăcinile ecuației m² - 30m - 111 = 0. Putem folosi formula quadratică pentru a găsi rădăcinile:
m = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
În acest caz, a = 1, b = -30 și c = -111. Deci,
m = [30 ± √((-30)² - 4 * 1 * (-111))] / (2 * 1)
m = [30 ± √(900 + 444)] / 2
m = [30 ± √1344] / 2
m = [30 ± √(64 * 21)] / 2
m = [30 ± 8√21] / 2
m = 15 ± 4√21
Așadar, rădăcinile ecuației m² - 30m - 111 = 0 sunt m₁ = 15 - 4√21 și m₂ = 15 + 4√21. Inegalitatea m² - 30m - 111 < 0 este satisfăcută între aceste rădăcini, deoarece coeficientul lui m² este pozitiv (a = 1), ceea ce înseamnă că parabola se deschide în sus.
Prin urmare, soluția inegalității este:
15 - 4√21 < m < 15 + 4√21
Interpretarea rezultatului
Am găsit că inegalitatea 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0 este adevărată pentru orice x real dacă și numai dacă parametrul m se află în intervalul (15 - 4√21, 15 + 4√21). Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui m din acest interval, parabola reprezentată de funcția f(x) = 4x² - (m+1)x + 2m + 7 este situată deasupra axei x și nu are puncte de intersecție cu aceasta.
Pentru a înțelege mai bine acest rezultat, putem aproxima valorile limitelor intervalului. √21 este aproximativ 4.58, deci:
4√21 ≈ 4 * 4.58 = 18.32
15 - 4√21 ≈ 15 - 18.32 = -3.32
15 + 4√21 ≈ 15 + 18.32 = 33.32
Deci, intervalul pentru m este aproximativ (-3.32, 33.32).
Concluzie
În concluzie, valorile parametrului real m pentru care inegalitatea 4x² - (m+1)x + 2m + 7 > 0 este adevărată pentru orice x real sunt date de intervalul (15 - 4√21, 15 + 4√21). Am obținut acest rezultat prin calcularea discriminantului inegalității de gradul al doilea și impunerea condiției ca acesta să fie negativ, asigurând astfel că funcția nu are rădăcini reale și este strict pozitivă pe întreaga axă reală. Această problemă ilustrează importanța înțelegerii proprietăților funcțiilor de gradul al doilea și a modului în care discriminantul influențează comportamentul acestora.
În rezumat, pașii principali pentru a rezolva această problemă au fost:
- Identificarea inegalității de gradul al doilea și coeficienții a, b și c.
- Calcularea discriminantului Δ = b² - 4ac.
- Impunerea condiției Δ < 0 pentru ca inegalitatea să fie adevărată pentru orice x real.
- Rezolvarea inegalității rezultate pentru m.
- Interpretarea rezultatului și exprimarea intervalului pentru m.
Această abordare poate fi aplicată și la alte probleme similare, unde trebuie să determinăm condițiile pentru ca o inegalitate de gradul al doilea să fie satisfăcută pe o anumită mulțime de valori. Înțelegerea conceptelor de discriminant și semnul funcției de gradul al doilea este esențială pentru a rezolva astfel de probleme.