Który Z Podanych Punktów Leży Na Symetralnej Odcinka, Którego Końce Mają Współrzędne P = (-2, -8) I R = (-2, 2)? A. (-2, 0) B. (-4, -8) C. (-10, -3) D. (0,-4)

by ADMIN 159 views

W geometrii analitycznej, zrozumienie pojęcia symetralnej odcinka jest kluczowe do rozwiązywania różnorodnych problemów. Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek. Innymi słowy, każdy punkt leżący na symetralnej jest równo oddalony od obu końców odcinka. Znalezienie punktu leżącego na symetralnej odcinka wymaga zastosowania kilku podstawowych zasad geometrii analitycznej, w tym obliczania środka odcinka oraz wyznaczania równania prostej prostopadłej. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy, jak znaleźć symetralną odcinka o końcach w punktach P = (-2, -8) i R = (-2, 2), a następnie sprawdzimy, który z podanych punktów (A. (-2, 0), B. (-4, -8), C. (-10, -3), D. (0, -4)) leży na tej symetralnej. Zrozumienie tego zagadnienia jest niezwykle ważne nie tylko w kontekście szkolnych zadań, ale także w bardziej zaawansowanych problemach matematycznych i inżynieryjnych.

Krok 1: Obliczenie środka odcinka PR

Pierwszym krokiem w znalezieniu symetralnej odcinka jest obliczenie jego środka. Środek odcinka to punkt, który dzieli odcinek na dwie równe części. Współrzędne środka odcinka można obliczyć, korzystając ze wzoru na środek odcinka, który jest średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka. Jeśli mamy dwa punkty, P o współrzędnych (x₁, y₁) i R o współrzędnych (x₂, y₂), to współrzędne środka odcinka S (xₛ, yₛ) obliczamy według następujących wzorów:

  • xₛ = (x₁ + x₂) / 2
  • yₛ = (y₁ + y₂) / 2

W naszym przypadku mamy punkty P = (-2, -8) i R = (-2, 2). Zatem:

  • xₛ = (-2 + (-2)) / 2 = -4 / 2 = -2
  • yₛ = (-8 + 2) / 2 = -6 / 2 = -3

Środek odcinka PR ma współrzędne S = (-2, -3). Znalezienie środka odcinka jest fundamentalnym krokiem, ponieważ symetralna musi przechodzić przez ten punkt. Dzięki temu mamy już jeden punkt, który należy do symetralnej. Następnym krokiem będzie znalezienie współczynnika kierunkowego prostej PR, a następnie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej, czyli naszej symetralnej. Pamiętajmy, że zrozumienie i poprawne zastosowanie wzoru na środek odcinka jest kluczowe do dalszych obliczeń i poprawnego rozwiązania zadania.

Krok 2: Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej PR

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez punkty P i R. Współczynnik kierunkowy, oznaczany jako a, informuje nas o nachyleniu prostej względem osi OX. Można go obliczyć, dzieląc różnicę współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x między dwoma punktami na prostej. Wzór na współczynnik kierunkowy a to:

  • a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

W naszym przypadku mamy punkty P = (-2, -8) i R = (-2, 2). Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:

  • a = (2 - (-8)) / (-2 - (-2)) = (2 + 8) / (-2 + 2) = 10 / 0

Zauważamy, że mianownik jest równy zero, co oznacza, że współczynnik kierunkowy jest nieokreślony. Taka sytuacja ma miejsce, gdy prosta jest pionowa, czyli równoległa do osi OY. W takim przypadku prosta PR jest pionowa, a jej równanie ma postać x = -2. To jest ważna obserwacja, która upraszcza dalsze kroki, ponieważ symetralna prostej pionowej będzie prostą poziomą, czyli prostopadłą do osi OY. Zrozumienie, kiedy współczynnik kierunkowy jest nieokreślony i jakie to ma konsekwencje dla postaci prostej, jest kluczowe do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Krok 3: Określenie równania symetralnej

Skoro wiemy, że prosta PR jest pionowa (x = -2), to symetralna odcinka PR, która jest do niej prostopadła, będzie prostą poziomą. Proste poziome mają równanie postaci y = b, gdzie b jest pewną stałą. Symetralna musi przechodzić przez środek odcinka PR, który obliczyliśmy w pierwszym kroku. Środek ten ma współrzędne S = (-2, -3). Zatem symetralna przechodzi przez punkt (-2, -3). Ponieważ symetralna jest prostą poziomą, jej równanie musi mieć postać y = -3. Oznacza to, że każdy punkt na symetralnej ma współrzędną y równą -3.

Podsumowując, równanie symetralnej odcinka PR to y = -3. Zrozumienie, jak prostopadłość prostych wpływa na ich równania, jest kluczowe. W przypadku prostej pionowej, symetralna jest zawsze pozioma i na odwrót. Teraz, mając równanie symetralnej, możemy przejść do ostatniego kroku, czyli sprawdzenia, który z podanych punktów leży na tej prostej.

Krok 4: Sprawdzenie, który z podanych punktów leży na symetralnej

Mamy równanie symetralnej y = -3 i cztery punkty do sprawdzenia:

A. (-2, 0) B. (-4, -8) C. (-10, -3) D. (0, -4)

Aby sprawdzić, czy punkt leży na symetralnej, wystarczy podstawić jego współrzędną y do równania symetralnej. Jeśli równanie jest spełnione, to punkt leży na symetralnej.

  • Punkt A (-2, 0): Podstawiamy y = 0 do równania y = -3. 0 ≠ -3, więc punkt A nie leży na symetralnej.
  • Punkt B (-4, -8): Podstawiamy y = -8 do równania y = -3. -8 ≠ -3, więc punkt B nie leży na symetralnej.
  • Punkt C (-10, -3): Podstawiamy y = -3 do równania y = -3. -3 = -3, więc punkt C leży na symetralnej.
  • Punkt D (0, -4): Podstawiamy y = -4 do równania y = -3. -4 ≠ -3, więc punkt D nie leży na symetralnej.

Zatem tylko punkt C (-10, -3) spełnia równanie symetralnej y = -3. Oznacza to, że punkt C leży na symetralnej odcinka PR. Umiejętność podstawiania współrzędnych punktów do równań prostych jest niezbędna w geometrii analitycznej. Dzięki temu możemy w prosty sposób sprawdzić, czy dany punkt należy do określonej figury geometrycznej.

Podsumowanie i wnioski

W tym artykule krok po kroku przeanalizowaliśmy, jak znaleźć symetralną odcinka o końcach w punktach P = (-2, -8) i R = (-2, 2) oraz jak sprawdzić, który z podanych punktów leży na tej symetralnej. Przypomnijmy kluczowe kroki:

  1. Obliczenie środka odcinka PR: Skorzystaliśmy ze wzoru na środek odcinka, aby znaleźć punkt S = (-2, -3).
  2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej PR: Obliczyliśmy współczynnik kierunkowy i stwierdziliśmy, że prosta PR jest pionowa (x = -2).
  3. Określenie równania symetralnej: Wywnioskowaliśmy, że symetralna jest prostą poziomą o równaniu y = -3.
  4. Sprawdzenie, który z podanych punktów leży na symetralnej: Podstawiliśmy współrzędne y podanych punktów do równania symetralnej i stwierdziliśmy, że tylko punkt C (-10, -3) spełnia to równanie.

Ostatecznie, odpowiedź to punkt C (-10, -3), który leży na symetralnej odcinka PR. Zrozumienie koncepcji symetralnej, obliczanie środka odcinka, wyznaczanie współczynnika kierunkowego oraz rozpoznawanie prostych pionowych i poziomych to kluczowe umiejętności w geometrii analitycznej. Mam nadzieję, że ta analiza pomogła Ci lepiej zrozumieć to zagadnienie i będziesz mógł skutecznie rozwiązywać podobne problemy w przyszłości. Pamiętaj, że regularne ćwiczenia i rozwiązywanie zadań są kluczem do opanowania matematyki!