Обчисліть Об'єм Правильної Чотирикутної Піраміди, Якщо Відомі Висота Та Апофема. Потрібне Розв'язання З Рисунком.
У геометрії, правильна чотирикутна піраміда є об'ємною фігурою, яка має квадратну основу та чотири трикутні бічні грані, що сходяться у вершині. Обчислення об'єму такої піраміди є важливою задачею, яка вимагає знання певних параметрів та формул. У цій статті ми детально розглянемо процес обчислення об'єму правильної чотирикутної піраміди, використовуючи відомі значення висоти та апофеми.
Постановка задачі
Уявімо собі правильну чотирикутну піраміду, де:
- Висота піраміди (h) дорівнює 12 см.
- Апофема піраміди (l) дорівнює 15 см.
Наше завдання – обчислити об'єм (V) цієї піраміди у кубічних сантиметрах (см³). Для цього нам необхідно знати формулу об'єму піраміди та вміти визначати необхідні параметри, такі як сторона основи.
Теоретичні відомості
Перш ніж перейти до розв'язання задачі, давайте згадаємо основні поняття та формули, які нам знадобляться:
- Правильна чотирикутна піраміда: Піраміда, в основі якої лежить квадрат, а бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.
- Висота піраміди (h): Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.
- Апофема піраміди (l): Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди до сторони основи.
- Сторона основи (a): Довжина сторони квадрата, що лежить в основі піраміди.
- Об'єм піраміди (V): Обчислюється за формулою: V = (1/3) * Sосн * h, де Sосн – площа основи піраміди.
Визначення площі основи
Для обчислення об'єму піраміди нам потрібно знати площу її основи. Оскільки в основі піраміди лежить квадрат, площа основи (Sосн) обчислюється за формулою:
Sосн = a²
Де 'a' – сторона основи квадрата. Але в умові задачі нам не дано значення сторони основи. Тому нам потрібно її визначити, використовуючи інші відомі параметри – висоту та апофему піраміди.
Знаходження сторони основи
Для знаходження сторони основи квадрата ми можемо скористатися теоремою Піфагора. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою піраміди (h), апофемою (l) та половиною сторони основи (a/2). У цьому трикутнику апофема є гіпотенузою, а висота та половина сторони основи – катетами. За теоремою Піфагора:
l² = h² + (a/2)²
Підставимо відомі значення h = 12 см та l = 15 см:
15² = 12² + (a/2)²
225 = 144 + (a/2)²
(a/2)² = 225 - 144
(a/2)² = 81
a/2 = √81
a/2 = 9
Тепер знайдемо сторону основи (a):
a = 2 * 9
a = 18 см
Отже, сторона основи квадрата дорівнює 18 см. Тепер ми можемо обчислити площу основи.
Обчислення площі основи
Підставимо значення сторони основи (a = 18 см) у формулу площі квадрата:
Sосн = a² = 18² = 324 см²
Таким чином, площа основи піраміди становить 324 см².
Обчислення об'єму піраміди
Тепер, коли ми знаємо площу основи (Sосн = 324 см²) та висоту піраміди (h = 12 см), ми можемо обчислити об'єм піраміди за формулою:
V = (1/3) * Sосн * h
Підставимо відомі значення:
V = (1/3) * 324 см² * 12 см
V = 108 см² * 12 см
V = 1296 см³
Відповідь
Отже, об'єм правильної чотирикутної піраміди з висотою 12 см та апофемою 15 см дорівнює 1296 см³.
Висновок
Обчислення об'єму правильної чотирикутної піраміди – це важлива задача, яка вимагає знання основних геометричних понять і формул. У цій статті ми детально розглянули процес обчислення об'єму, починаючи від визначення необхідних параметрів (сторони основи) і закінчуючи застосуванням формули об'єму піраміди. Ми також використовували теорему Піфагора для знаходження сторони основи, що є важливим прийомом у розв'язанні геометричних задач. Розуміння цих концепцій допоможе вам успішно розв'язувати подібні задачі в майбутньому.
Ключові моменти для запам'ятовування
- Формула об'єму піраміди: V = (1/3) * Sосн * h
- Площа основи (квадрата): Sосн = a²
- Теорема Піфагора: l² = h² + (a/2)² (для правильної чотирикутної піраміди)
- Апофема – висота бічної грані піраміди
Застосування знань на практиці
Знання про обчислення об'єму піраміди може бути корисним у різних сферах, від архітектури та будівництва до інженерії та дизайну. Наприклад, при проектуванні дахів, веж або інших конструкцій, що мають форму піраміди, необхідно точно обчислювати їх об'єм для визначення кількості необхідних матеріалів та забезпечення міцності конструкції.
Додаткові вправи
Для закріплення матеріалу спробуйте розв'язати наступні задачі:
- Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а сторона основи – 12 см. Обчисліть об'єм піраміди.
- Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 1000 см³, а висота – 15 см. Обчисліть площу основи піраміди.
- Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а сторона основи – 8 см. Обчисліть об'єм піраміди.
Підсумок
У цій статті ми детально розглянули, як обчислити об'єм правильної чотирикутної піраміди, знаючи її висоту та апофему. Сподіваємося, що цей матеріал був корисним для вас, і ви зможете успішно застосовувати ці знання на практиці. Не забувайте практикуватися у розв'язанні задач, щоб краще засвоїти матеріал. Геометрія – це захоплива наука, яка відкриває перед нами багато цікавих можливостей!