Oblicz Promień Okręgu Opisanego Na Trójkącie Prostokątnym Oraz Długości Boków Tego Trójkąta, Wiedząc, Że Wysokość Poprowadzona Na Przeciwprostokątną Ma Długość 4 Cm, A Spodek Tej Wysokości Leży W Odległości 1 1/6 Cm Od Środka Przeciwprostokątnej.

by ADMIN 247 views

Wprowadzenie do trójkątów prostokątnych i ich własności

W trójkącie prostokątnym, kluczową rolę odgrywa kąt prosty, który determinuje wiele jego właściwości. Zrozumienie tych właściwości jest fundamentem do rozwiązywania problemów geometrycznych. W niniejszym artykule zajmiemy się konkretnym przypadkiem trójkąta prostokątnego, w którym dana jest wysokość opuszczona na przeciwprostokątną oraz odległość spodka tej wysokości od środka przeciwprostokątnej. Na podstawie tych danych obliczymy promień okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości jego boków. Problem ten stanowi doskonały przykład zastosowania twierdzenia Pitagorasa, własności wysokości w trójkącie prostokątnym oraz relacji między okręgiem opisanym a trójkątem prostokątnym. Analiza tego typu zadań pozwala na dogłębne zrozumienie geometrii i rozwija umiejętność rozwiązywania problemów matematycznych. Przejdziemy przez kolejne kroki rozwiązania, wyjaśniając każde działanie i odwołując się do odpowiednich twierdzeń i wzorów. Celem jest nie tylko znalezienie odpowiedzi, ale przede wszystkim zrozumienie procesu rozwiązywania problemu i nabycie umiejętności, które można zastosować w innych, podobnych sytuacjach. Zatem, zagłębiając się w analizę tego trójkąta, odkryjemy fascynujący świat geometrii i jej praktycznych zastosowań. Przygotujmy się na matematyczną podróż, która wzbogaci naszą wiedzę i umiejętności w dziedzinie geometrii trójkątów prostokątnych.

Sformułowanie problemu i analiza danych

Mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, w którym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi 4 cm. Informacja ta jest kluczowa, ponieważ wysokość w trójkącie prostokątnym dzieli go na dwa mniejsze trójkąty, które są podobne do siebie i do trójkąta wyjściowego. Spodek tej wysokości, czyli punkt, w którym wysokość przecina przeciwprostokątną, leży w odległości 1 1/6 cm (czyli 7/6 cm) od środka przeciwprostokątnej. Ta informacja jest szczególnie istotna, ponieważ wiąże położenie wysokości z przeciwprostokątną, która jest także średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Celem zadania jest obliczenie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości boków trójkąta. Aby to osiągnąć, musimy wykorzystać zarówno własności trójkątów prostokątnych, jak i relacje między trójkątem a okręgiem opisanym. Zastanówmy się, jak możemy wykorzystać podane informacje. Przede wszystkim, odległość spodka wysokości od środka przeciwprostokątnej mówi nam o pewnej asymetrii w podziale przeciwprostokątnej przez wysokość. Ta asymetria będzie kluczowa do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków przeciwprostokątnej. Następnie, znając te długości i wysokość, będziemy mogli zastosować twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boków trójkąta. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej, więc obliczenie długości przeciwprostokątnej pozwoli nam na wyznaczenie promienia. Zatem, plan działania jest następujący: wykorzystujemy dane o wysokości i odległości od środka przeciwprostokątnej, obliczamy długości odcinków przeciwprostokątnej, stosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia boków trójkąta, a na końcu wyznaczamy promień okręgu opisanego.

Rozwiązanie: krok po kroku

Oznaczmy nasz trójkąt jako ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C jest prosty. Niech D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB, a O środkiem przeciwprostokątnej AB. Z treści zadania wiemy, że |CD| = 4 cm oraz |OD| = 7/6 cm. Naszym celem jest obliczenie długości boków trójkąta ABC oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zacznijmy od obliczenia długości odcinków AD i DB. Oznaczmy długość AD jako x. Ponieważ O jest środkiem AB, to |AO| = |OB| = R, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego. Zatem |DO| = |AO| - |AD| = R - x. Wiemy, że |DO| = 7/6 cm, więc R - x = 7/6. Dodatkowo, zauważmy, że |DB| = |AB| - |AD| = 2R - x. Teraz wykorzystamy własność wysokości w trójkącie prostokątnym, która mówi, że |CD|^2 = |AD| * |DB|. Podstawiając dane, otrzymujemy 4^2 = x * (2R - x), czyli 16 = x * (2R - x). Mamy teraz dwa równania: R - x = 7/6 oraz 16 = x * (2R - x). Z pierwszego równania możemy wyznaczyć R = x + 7/6. Podstawiając to do drugiego równania, otrzymujemy 16 = x * (2(x + 7/6) - x), co upraszcza się do 16 = x * (2x + 7/3 - x), czyli 16 = x * (x + 7/3). Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymujemy x^2 + (7/3)x - 16 = 0. Mnożąc przez 3, mamy 3x^2 + 7x - 48 = 0. Rozwiązując to równanie kwadratowe (np. za pomocą delty), otrzymujemy dwa rozwiązania: x = 3 i x = -16/3. Ponieważ długość odcinka musi być dodatnia, wybieramy x = 3 cm. Teraz możemy obliczyć R = x + 7/6 = 3 + 7/6 = 18/6 + 7/6 = 25/6 cm. Zatem promień okręgu opisanego wynosi 25/6 cm. Długość przeciwprostokątnej |AB| = 2R = 2 * (25/6) = 25/3 cm. Teraz obliczamy |DB| = 2R - x = 25/3 - 3 = 25/3 - 9/3 = 16/3 cm. Mając długości odcinków AD i DB, możemy obliczyć długości boków AC i BC za pomocą twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ADC i BDC. |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, więc |AC| = 5 cm. |BC|^2 = |DB|^2 + |CD|^2 = (16/3)^2 + 4^2 = 256/9 + 16 = 256/9 + 144/9 = 400/9, więc |BC| = 20/3 cm. Zatem długości boków trójkąta wynoszą 5 cm, 20/3 cm i 25/3 cm.

Podsumowanie wyników i wnioski

W wyniku przeprowadzonych obliczeń, udało nam się wyznaczyć zarówno promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, jak i długości jego boków. Promień okręgu opisanego wynosi 25/6 cm, a długości boków trójkąta to 5 cm, 20/3 cm oraz 25/3 cm. Kluczowym elementem rozwiązania było wykorzystanie własności wysokości w trójkącie prostokątnym oraz twierdzenia Pitagorasa. Zastosowanie tych narzędzi pozwoliło nam na powiązanie danych z zadania (wysokość opuszczona na przeciwprostokątną i odległość spodka tej wysokości od środka przeciwprostokątnej) z szukanymi wielkościami (promień okręgu opisanego i długości boków). Analiza zadania pokazała, jak ważne jest zrozumienie zależności geometrycznych i umiejętność ich wykorzystywania w praktyce. Równanie kwadratowe, które pojawiło się w trakcie rozwiązywania, jest częstym elementem problemów geometrycznych i algebraicznych, co podkreśla potrzebę biegłego posługiwania się metodami rozwiązywania tego typu równań. Rozwiązanie tego zadania jest przykładem tego, jak geometria łączy się z algebra, tworząc spójną całość. Dodatkowo, warto zauważyć, że znajomość własności trójkątów prostokątnych i okręgów opisanych jest niezwykle przydatna w rozwiązywaniu różnorodnych problemów matematycznych i inżynierskich. Zatem, regularne ćwiczenia i pogłębianie wiedzy z zakresu geometrii są kluczowe dla rozwoju umiejętności rozwiązywania problemów i logicznego myślenia. Mam nadzieję, że przedstawione rozwiązanie było zrozumiałe i przyczyni się do lepszego zrozumienia geometrii trójkątów prostokątnych.