Qual É A Fração Geratriz Da Dízima Periódica 1,7151515...? Explique Como Transformar Dízimas Periódicas Em Frações.

A dízima periódica 1,7151515... apresenta um desafio matemático interessante: como podemos representá-la na forma de uma fração? Este artigo irá guiá-lo através do processo de encontrar a fração geratriz dessa dízima, explicando cada passo detalhadamente. Além disso, vamos analisar as alternativas fornecidas e justificar a resposta correta.

Entendendo Dízimas Periódicas e Frações Geratrizes

Antes de mergulharmos na solução do problema específico, é crucial entendermos os conceitos fundamentais de dízimas periódicas e frações geratrizes. Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma sequência de dígitos (o período) que se repete infinitamente. No caso de 1,7151515..., o período é '15'. A fração geratriz, por sua vez, é a fração irredutível que, quando dividida, resulta na dízima periódica em questão. Encontrar essa fração é o objetivo principal deste exercício.

O processo de transformação de uma dízima periódica em fração envolve alguns passos algébricos que exploram a natureza repetitiva da dízima. A ideia central é manipular a dízima de forma a eliminar a parte decimal infinita, permitindo que a expressemos como uma razão entre dois inteiros. Este método é aplicável a todas as dízimas periódicas, sejam elas simples (quando o período começa imediatamente após a vírgula) ou compostas (quando há uma parte não periódica antes do período).

Para uma compreensão mais profunda, é útil visualizar a dízima periódica como uma soma infinita. No nosso exemplo, 1,7151515... pode ser pensado como 1,7 + 0,015 + 0,00015 + 0,0000015 + ... Esta representação nos ajuda a perceber a estrutura geométrica da série, que é fundamental para a derivação da fração geratriz. Cada termo após o 1,7 é uma potência de 0,015, o que nos permite utilizar ferramentas de séries geométricas para simplificar a expressão.

A importância de dominar a conversão de dízimas periódicas em frações reside na sua aplicação em diversos contextos matemáticos e científicos. Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com frações do que com dízimas infinitas, especialmente em cálculos que exigem precisão. Além disso, a habilidade de encontrar a fração geratriz demonstra uma compreensão sólida do sistema numérico e das relações entre diferentes representações de números racionais.

Passo a Passo: Transformando 1,7151515... em Fração

Agora, vamos aplicar o método para encontrar a fração geratriz de 1,7151515.... Este processo envolve alguns passos cruciais que nos permitirão transformar a dízima em uma fração equivalente. Vamos detalhar cada passo para garantir clareza e compreensão.

1. Definir a dízima como uma variável: Inicialmente, atribuímos a dízima periódica a uma variável, geralmente 'x'. Isso nos permite manipular algebricamente a expressão. Portanto, escrevemos:

   x = 1,7151515...

2. Identificar o período: O próximo passo é identificar o período da dízima, ou seja, o grupo de dígitos que se repete. No nosso caso, o período é '15'. A quantidade de dígitos no período é importante, pois determinará o fator de multiplicação que utilizaremos no próximo passo.

3. Multiplicar por uma potência de 10: Multiplicamos ambos os lados da equação por uma potência de 10 que corresponda ao número de dígitos no período. Como o período '15' tem dois dígitos, multiplicamos por 100. Isso desloca a vírgula duas casas para a direita, mantendo a parte decimal periódica intacta.

   100x = 171,5151515...

4. Multiplicar para alinhar os períodos: Agora, precisamos multiplicar a equação original (x = 1,7151515...) por uma potência de 10 que alinhe os períodos. Neste caso, multiplicamos por 10, pois precisamos deslocar a vírgula uma casa para a direita para que a parte periódica se alinhe com a equação anterior.

   10x = 17,151515...

5. Subtrair as equações: Subtraímos a equação (4) da equação (3). Isso eliminará a parte decimal periódica, deixando apenas números inteiros. Este é o passo chave para transformar a dízima em uma fração.

   100x - 10x = 171,5151515... - 17,151515...

   90x = 154,4

6. Resolver para x: Agora, resolvemos a equação para 'x'. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 10 para eliminar a vírgula:

   900x = 1544

   Em seguida, dividimos ambos os lados por 900 para isolar 'x':

   x = 1544 / 900

7. Simplificar a fração: Finalmente, simplificamos a fração para sua forma irredutível. Encontramos o maior divisor comum (MDC) entre 1544 e 900, que é 4. Dividimos ambos os números pelo MDC:

   x = (1544 / 4) / (900 / 4)

   x = 386 / 225

Portanto, a fração geratriz da dízima periódica 1,7151515... é 386/225.

Analisando as Alternativas

Agora que encontramos a fração geratriz, vamos analisar as alternativas fornecidas para identificar a correta:

• A) 171/100
• B) 1715/999
• C) 1715/1000
• D) 1715/9999

Nenhuma das alternativas corresponde à fração que encontramos (386/225). No entanto, é importante notar que a questão original pode ter um erro nas alternativas ou na própria dízima apresentada. A dízima 1,7151515... corresponde à fração 386/225, e nenhuma das opções fornecidas é equivalente a essa fração.

Para confirmar, podemos dividir cada alternativa e verificar qual delas se aproxima de 1,7151515...:

• 171/100 = 1,71 (não corresponde)
• 1715/999 ≈ 1,7167 (não corresponde)
• 1715/1000 = 1,715 (não corresponde exatamente, mas é a mais próxima)
• 1715/9999 ≈ 0,1715 (não corresponde)

Embora a alternativa C (1715/1000) seja a mais próxima, ela não é a fração geratriz correta. A fração correta, como demonstrado, é 386/225.

Justificativa Detalhada

Para justificar nossa resposta, recapitulamos o processo de transformação da dízima periódica em fração. A dízima 1,7151515... foi definida como 'x'. Multiplicamos por potências de 10 para alinhar os períodos e subtraímos as equações para eliminar a parte decimal infinita. Este método, amplamente utilizado em matemática, garante que a fração resultante seja equivalente à dízima original.

O processo de subtração das equações é crucial, pois elimina a repetição infinita da parte decimal. Ao subtrair 10x de 100x, obtemos uma equação que pode ser resolvida algebricamente para encontrar o valor de 'x' como uma fração. A simplificação da fração resultante é um passo importante para apresentar a resposta na sua forma mais concisa.

No nosso caso, a fração resultante foi 386/225. Esta fração, quando dividida, resulta na dízima periódica 1,7151515.... Portanto, ela é a fração geratriz da dízima dada. A divergência entre a resposta encontrada e as alternativas fornecidas destaca a importância de realizar os cálculos com precisão e verificar os resultados.

Conclusão

Neste artigo, exploramos o processo de encontrar a fração geratriz da dízima periódica 1,7151515.... Demonstramos passo a passo como transformar a dízima em uma fração equivalente, utilizando métodos algébricos padrão. A fração geratriz correta é 386/225, que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas na questão original.

A habilidade de converter dízimas periódicas em frações é fundamental para uma compreensão mais profunda dos números racionais e suas representações. Além disso, essa habilidade é aplicável em diversos contextos matemáticos e científicos, onde a precisão é essencial.

Esperamos que este guia detalhado tenha esclarecido o processo de encontrar a fração geratriz e ajudado você a compreender melhor este conceito matemático importante. Lembre-se, a prática constante é a chave para dominar qualquer habilidade matemática.